Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Если величины Xi и X2 одинаковы (как в случае естественного света), то ясно, что степень поляризации (каково бы ни было ее определение) должна равняться нулю. Если же величина Xi или X2 равна нулю (как в случае света, линейно-поляризованного вдоль оси X или У), то степень поляризации должна быть, очевидно, равна единице. Чтобы прийти к логическому определению степени поляризации, заметим, что днагоналнзиро-ванная матрица когерентности может всегда быть записана следующим образом:
где мы приняли (без потери общности), что А,і ^ X2. Первая матрица в правой части представляет неполяризованный свет со средней интенсивностью 2Х2, а вторая — линейно-поляризованный свет с интенсивностью Ai — A2. Таким образом, свет с произвольной поляризацией может быть представлен в виде суммы поляризованной и неполяризованной составляющих. Определим степень поляризации волны как отношение интенсивности поляризованной компоненты к полной интенсивности:
Таким образом, мы дали общее определение >).
Степень поляризации может быть выражена более явно через элементы первоначальной матрицы когерентности, если это
Aj — A2 0
о о
(4.3.32)
1J Четкое изложение теории поляризации световых волн см. в работе [4д]. — Прим. ред. 136
Глава З
потребуется. Чтобы сделать это, заметим, что собственные значения Яі и Л,2 по определению являются решениями уравнения
det [J - kf] = 0. (4.3.34)
Прямое решение получающегося квадратного уравнения для к приводит к выражению
1 Г / det [J] 1
42 = yTr[J][l± Y1-4TFlf-J- (4-3-35)
Таким образом, степень поляризации может быть записана в виде
det [J]
!-4TFW- (4-3-36)
Нетрудно показать, что любое унитарное преобразование матрицы когерентности не изменяет следа этой матрицы. Следовательно, мы можем всегда рассматривать интенсивность частично поляризованной волны как сумму интенсивностей Яі и Яг двух некоррелированных полевых составляющих. Средние интенсивности этих составляющих выражаются через степень поляризации 5а следующим образом:
, _ (4.3.37)
я2 = у/( 1-П
где мы просто учли, что Tr [J] = 7, и подставили выражение (4.3.36) в (4.3.35). Если мы имеем дело с тепловым излучением, то отсутствие корреляции означает статистическую независимость как полевых компонент, так и соответствующих интенсивностей.
Изложенное выше о свойствах частично поляризованного света нельзя считать исчерпывающим, поскольку мы опустили многие интересные моменты. Отметим, в частности, параметры Стокса и матрицы Меллера. Ни те, ни другие не рассматривались здесь. Мы ограничиваемся лишь теми вопросами, которые будут полезны нам при изложении последующего материала, а за более полной информацией читатель отсылается к литературе [4.3, гл. 10; 4.5, 4.11].
Г. Статистические характеристики первого порядка мгновенной интенсивности
Мы закончим обсуждение свойств частично поляризованного света выводом плотности распределения мгновенной интенсивности теплового излучения с произвольной степенью поляриза- Некоторые статистические характеристики первого порядка
І 2 7
ции 5а. Как мы видели в предыдущем пункте, мгновенную интенсивность частично поляризованной волны всегда можно представить в виде суммы двух некоррелированных составляющих интенсивности:
1{Р, 0 = /,(Р, t) + I2(P, /). (4.3.38)
Кроме того, если мы рассматриваем тепловое излучение, то составляющие интенсивности также статистически независимы вследствие независимости соответствующих комплексных гауссовских полевых компонент. Средние интенсивности этих двух составляющих, согласно формуле (4.3.37), равны
7,=|(1 +
. _ (4.3.39)
Z2=-I(I-^)Z,
где 7—полная средняя интенсивность.
Так как 1\ и I2-—квадраты модулей круговых комплексных гауссовских полей, каждая из этих величин подчиняется экспоненциальному распределению с отрицательным показателем:
M7O = (1 + ^)7 ехр{~ (і +0>)/~ }' ,t\ 2 f 2/, ) (4-3-4°)
при Zi ^ 0 и I2 ^ 0. Плотность распределения полной интенсивности / легче всего найти, вычислив сначала характеристическую функцию Mi (и). Поскольку h и Z2 независимы, мы можем представить характеристическую функцию в виде произведения двух характеристических функций (задача 4.2):
(1 -f ___(1 —9>)!2&
(4.3.41)
где на последнем этапе было использовано разложение на парциальные дроби. Обратное преобразование Фурье приводит к плотности распределения вида
й <'> = ІГ {=P [- тттЫ -exP [- тггЫ} • (4'3'42)
График этой плотности распределения при разных значениях & показан на рис. 4.7. Как нетрудно видеть, эти результаты согла- 138
Глава З
суются с представленными на рис. 4.3 и рис. 4.5 для случаев ср = 1 и 5а = 0.
ЫП
JP— 0,75 P = 0,50
Рнс. 4.7. Плотность распределения мгновенной интенсивности теплового излучения со степенью поляризации 3>.
Наконец, в случае частично поляризованного теплового излучения можно легко показать (задача 4.7), что стандартное отклонение Oi мгновенной интенсивности равно
о/
=V
1 + P1
I.
(4.3.43)
§ 4. Лазерное излучение
От статистических характеристик первого порядка для теплового излучения, являющегося типичным примером света, наиболее часто встречаемого на практике, мы теперь перейдем к более трудной задаче моделирования свойств света, генерируемого лазером. Задача оказывается трудной не только из-за сложного характера физического принципа действия даже простейшего вида лазера, но также из-за громадного разнообразия типов существующих лазеров. Ни одна из моделей не позволяет надеяться точно описать статистические свойства лазерного света во всех возможных случаях. Лучшее, что мы можем сделать,— это предложить модели, которые описывают лишь определенные, идеализированные свойства лазерного света. Некоторые статистические характеристики первого порядка
