Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
где угловые скобки означают, что каждый элемент произведения матриц усреднен по бесконечному временному интервалу. Матрицу J можно также представить в виде
J Г J** Jxy 1 (4.3.12)
L J ?/JC Jj!у J
где
Jxx А (их (t) их (0>, Jj,* A (ur (/) U^ (*)).
/ . \ / . \ (4.3.13)
Jxy А (их (0 Uy (0>, Jyy A \Uy (() Uy (О)-Такая матрица J называется матрицей когерентности волны. Элементы главной диагонали матрицы J — это, очевидно, средние интенсивности X- и K-компонент поляризации. Недиагональные же элементы — это взаимные корреляции двух компонент поляризации.
Некоторые фундаментальные свойства матрицы когерентности можно установить чисто математически. Во-первых, из (4.3.13) явствует, что J** и Jyy — всегда неотрицательные действительные величины. Во-вторых, элемент Jyx равен комплексно-сопряженному элементу Jxy. Таким образом, J — эрмитова матрица и может быть записана в виде
M (4-зл4>
L Jxy Jyy J
Кроме того, на основании неравенства Шварца, примененного к определению матрицы Jxy, мы можем написать
и*,1<[.1*Л,]1/2- (4-3-1?
откуда следует, что детерминант матрицы J неотрицателен:
det [J] = JxxJyy-\ Jxyf (4.3.16)
Другими словами, J — неотрицательно определенная матрица. И наконец, матрица J имеет то важное свойство, что ее след Некоторые статистические характеристики первого порядка
І 2 7
равен средней интенсивности волны:
Tr [J] = Jxx + Syy =7. (4.3.17)
Когда оптическая волна проходит через поляризационное устройство, ее матрица когерентности, вообще говоря, изменяется. Пусть J' — матрица когерентности на выходе устройства, a J —матрица когерентности на входе. Как J' и J соотносятся друг с другом? Ответ легко найти в случае узкополосного света, подставив выражение (4.3.2), описывающее преобразование волновых компонент, в определение (4.3.11) матрицы когерентности. Получим
J'= LJL+, (4.3.18)
где учтено равенство (LU)+ = U+L+.
Конкретные формы матрицы когерентности, отвечающие различным условиям поляризации, могут быть легко выведены из определения их элементов. Вот некоторые очевидные примеры:
Линейная поляризация , _ гГ 1 0 "1 „
в Х-направлении '[о OJ' (4.Л.1У)
Линейная поляризация ._уТ 0 0 1 .. „ _ .
в Y-направлении Ij' l^.d.^uj
Линейная поляризация ,_ 7 Г 1 1 "1 о 914
под углом 45° к оси X ? —1 Ij I4-j^1J
Менее очевидны формулы в случае света, поляризованного по кругу. Волна поляризована по кругу, если ее средняя интенсивность на выходе из анализатора поляризации не зависит от угловой ориентации анализатора и если электрический вектор волны вращается с постоянной угловой скоростью 2л\* и периодом 1/v. Круговая поляризация называется правой, когда направление вращения вектора совпадает с направлением часовой стрелки, если смотреть навстречу волне (т. е. на источник света). Круговая поляризация является левой, если вращение происходит в противоположном направлении.
В случае правой круговой поляризации аналитические сигналы Ux(0 и Uy(0 принимают вид
IIjc (Z) = A (0 е-"*«, (4 3 22)
Uy(0 = A(0e-/12""+W2)1,
где A(Z)—медленно меняющаяся комплексная огибающая. Заметим, что в течение временного интервала A^ 1/Av величина A(t) приблизительно постоянна, а электрический вектор быстро вращается. Матрица когерентности для такого вида света легко 132
Глава З
находится путем подстановки выражений (4.3.22) в определение (4.3.13), что приводит к результату
Правая круговая поляризация: J = у ^ ! (4.3.23)
В случае левой круговой поляризации соответствующие формулы таковы:
U (O = A (0е-/2я",
(4 3 24)
Uy (0 = А (Ой"'' !2"9M«/2)lf (t.O.^V
Левая круговая поляризация: J = у ^ ! j ^J. (4.3.25)
Заметим, в частности, что для обоих типов круговой поляризации средние интенсивности двух компонент поляризации одинаковы; кроме того, эти две компоненты полностью коррелированы, поскольку их коэффициент корреляции равен (по модулю) единице:
I^yIA Jj,"' =1- (4.3.26)
ViXXiyy]
Далее рассмотрим важный случай «естественного» света. Такой свет обладает двумя важными свойствами. Во-первых, подобно свету, поляризованному по кругу, естественный свет имеет одинаковую среднюю интенсивность во всех направлениях, т. е. если волна проходит через анализатор поляризации, то среднее значение прошедшей интенсивности не зависит от угловой ориентации анализатора. Но в отличие от случая круговой поляризации направление поляризации естественного света случайно флуктуирует во времени, так что все направления равновероятны. Аналитическое сигнальное представление двух компонент поляризации естественного света может быть записано в виде
их (0 — А (0 cos 0 (0 е~/2яї<,
Uy (0 = А (0 Sin Є (0 е-/2я,<, (4.0.27)
где A(t)—медленно меняющаяся комплексная огибающая, описывающая фазорную амплитуду электрического вектора в момент времени t, a 6(Z)—медленно меняющийся угол между направлением поляризации и осью X. Если значения угла 6(0 однородно распределены в интервале (—я, я), то матрица когерентности легко определяется и имеет вид
J_=4-[i (4-3-28)
