Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 45

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 60 >> Следующая


OO

De (т) ^ 8jt2t Jj Tv (л) rfri, (4.4.11)

о

или, в словесной формулировке, средний квадрат разности фаз линейно зависит от времени разделения т. Такое соотношение 142

Глава З

характерно также для процесса диффузии и броуновского движения свободной частицы.

Что касается плотностей распределения амплитуды и интенсивности волны с постоянным уровнем и случайно изменяющейся фазой, то они идентичны тем, которые приведены на рис. 4.8, так как фаза оказывается снова однородно распределенной в интервале (—а интенсивность остается постоянной.

Последнее усложнение модели связано с допущением, что амплитуда моды флуктуирует случайно во времени (это в какой-то степени неизменно имеет место на практике). Решение линеаризованного уравнения Ван дер Поля [4.13], которое описывает лазер непрерывного действия, работающий при достаточном превышении порога, показывает, что излучаемая волна имеет временную структуру типа

и (0 = S cos [2 JtV - 6 (01 + (0, (4.4.12)

где S и vo рассматриваются как известные постоянные, 0(<)— случайно изменяющаяся во времени фаза рассмотренного выше диффузионного типа, a un(t)—слабый стационарный шумовой процесс с относительно узким (Av vo) спектром, центральная частота которого равна vo- Напряженность шумовых компонент уменьшается по мере того, как лазер работает все далее выше порога.

Можно показать, что с физической точки зрения первый член в формуле (4.4.12) представляет вынужденное излучение, а второй — малую остаточную величину спонтанного излучения. В этом случае логично приписать величине un(t) гауссовское распределение и предположить, что эта величина не зависит от 0(0-В фиксированный момент времени первый член имеет плотность распределения, определяемую формулой (4.4.3), тогда как второй член имеет гауссовскую плотность распределения. При работе достаточно далеко за порогом гауссовская функция имеет стандартное отклонение а, намного меньшее S. Поэтому свертка двух функций плотности приводит к слегка сглаженному варианту приведенных на рис. 4.8, а зависимостей для плотности распределения амплитуды.

Что касается интенсивности одномодового колебания, то заметим, что она равна квадрату длины интенсивного фазора с постоянной амплитудой и случайной фазой S и слабого кругового комплексного гауссовского фазора А„, представляющего комплексную огибающую гауссовского шумового члена. Плотность распределения интенсивности / можно найти, если заметить, что

/ = I S + An I2 « I S I2 + 2 Re (S*A„). (4.4.13)

Теперь учтем, что

S = Seie, An = Ane1*", Некоторые статистические характеристики первого порядка

І 2 7

где An, 0 и ф„ независимы, а 0 и ф„ однородно распределены на интервале (—я, я). Действительная часть величины 2S*\„ является гауссовской случайной переменной1) с нулевым средним значением и дисперсией

T 1

(T2 - 4SM* COS2 (в - ф„) = 4IsIn • у = 2IsIn. (4.4.14)

Мы приходим к выводу, что интенсивность / (приблизительно) описывается гауссовской плотностью распределения

P1(I)

> Г (L^n (4.4.15)

STN vX «s'N J

V431A

Эта формула справедлива при Is /л?.

Другое решение для плотности распределения интенсивности лазера, работающего выше или ниже порога, было найдено Рискеном [4.14], который решал нелинейное уравнение Фок-кера — Планка, вычисляя непосредственно плотность распределения. В результате для плотности распределения было получено выражение

ехр{-(-W77_"^)2} при 1>0'

P1 (I) Z= і Я/о l-t-erfK>

О в других случаях

(4.4.16)

где Iq—-средняя пороговая интенсивность, W — параметр, который изменяется от большого отрицательного значения при работе значительно ниже порога до нуля вблизи порога и до большого положительного значения далеко за порогом, a erf w — обычное обозначение функции ошибок:

w

erf W =—р=- ^ ехр(— X2) dx, erf (— w) = — erf w. (4.4.17)

V" Oj

Средняя интенсивность на выходе лазера связана со средней пороговой интенсивностью соотношением

+ (4.4.18)

Если W 0, то лазер работает в состоянии значительно ниже порога и рі(І) приблизительно является экспонентой с отрица-

') Заметим, что Re(SMn) = Sj4ncos(q)„ — 6). Так как фаза <р" однородно распределена, a An имеет рэлеевское распределение, получающееся произведение подчиняется гауссовскому распределению. 144

Глава З

тельным показателем, как и для теплового излучения:

г 2Iw I f 21 и> I ,) ... .

Г ,- ' ехр 4--T=-lH при /> О,

Р,(/)~< л/"Л> I л/яЛ. J г (4.4.19)

'о при / < 0.

Если да= 0, то лазер работает вблизи порога и Pi(I) имеет форму половины гауссовской кривой:

Pi (!)

я/( 0

•ехр

{-? при />0,

при / < 0.

(4.4.20)

Наконец, в наиболее общем случае, когда лазер находится в состоянии далеко за порогом, w ^ 0 и pi (I) имеет форму гаус-

VSrI0P1O)

W—1,77

Рнс. 4.9. Решение Рискена для плотности распределения интенсивности лазера

(одна мода).

совской плотности со средним значением I = W^JnI0:

P1(I)

(4.4.21)

при / < 0 Некоторые статистические характеристики первого порядка

І 2 7

Напомним, что предыдущее приближение (4.4.15) предсказывало аналогичный результат, а' это указывает на соотношение
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed