Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
релятивистский гамильтониан (7.23) из гамильтониана (7.20); этот способ
часто применяется в квантовой механике.
Гамильтонианы (7.20) и (7.23) являются релятивистскими лишь в том смысле,
что они приводят к правильным релятивистским уравнениям движения. Однако
они не являются ковариантными. Кова-риантный гамильтониан Н' можно
получить, применяя преобразования Лежандра к ковариантному лагранжиану
L', рассмотренному в предыдущей главе. При этом вместо времени t следует
пользоваться инвариантным временем т и вместо обобщённого 3-импульса
рассматривать обобщённый 4-импульс. В релятивистских обозначениях
ковариантный гамильтониан частицы запишется в виде
Н' - Р\их - L', (7.24)
а соответствующие восемь уравнений движения будут иметь вид:
§ 7.3] ТЕОРЕМЫ О СОХРАНЕНИИ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ГАМИЛЬТОНИАНА 245
В частном случае, когда действующие на частицу силы являются
электромагнитными, лагранжиан L' равен
[см. уравнение (6.57)], а соответствующие импульсы равны
[см. уравнение (6.58)]. Тогда согласно (7.24) будем иметь
Если пользоваться полученным ковариантным гамильтонианом, то
пространственная часть уравнений (7.25) приведет нас, очевидно, к
пространственным уравнениям движения. Однако, кроме того, появятся ещё
два уравнения, получающиеся при ), = 4. Одно из них устанавливает тот
факт, что pi пропорционально полной энергии. Действительно, полагая в
первом уравнении (7.25) \ - 4, будем иметь:
Этот результат уже отмечался нами ранее. Другое из этих уравнений можно
записать в виде
Но из сравнения формул (7.26) и (7.23) следует, что
дН' Т дН
dt лгс2 dt '
и поэтому предыдущее равенство принимает вид
dt dt '
L
2
MU) U} -j-------A^ux
с
If
+ -f A>u>-
с
1 q . 1
¦j m uxux - Axux = у muxu\ >
или, вводя сюда p-, получаем
(7.26)
дН'
dpi
m
1 dp^ 1 дН'
Y1 pa dt ie dt '
или
что мы уже имели раньше в равенстве (7.19)<
246
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[гл. 7
Ковариантный гамильтониан, так же как ковариантный лагранжиан, можно
образовать только в том случае, когда потенциалы всех действующих сил
выражаются ковариантным образом. Мы знаем, однако, что это возможно не
всегда и что в настоящее время электромагнитные силы представляют
единственный простой пример, когда ковариантная формулировка оказывается
возможной.
¦Таким образом, мы видим, что принципиально релятивистская механика также
может быть построена на основе метода Гамильтона. Однако для упрощения
изложения мы большую часть последующих рассуждений будем проводить в
рамках нерелятивистской механики.
§ 7.4. Вывод уравнений Гамильтона из вариационного принципа. Мы знаем,
что уравнения Лагранжа являются следствием вариационного принципа
Гамильтона (см. § 2.1). Более того, вывод уравнений Лагранжа из этого
принципа имеет определённое преимущество, так как он применим и к
системам, выходящим за рамки обычной механики. Поэтому целесообразно
найти такой вариационный принцип, который приводит непосредственно к
уравнениям Гамильтона. Мы увидим, что это можно сделать с помощью
обычного принципа Гамильтона
о/= 8 | Ldt=0, (7.27)
h
если воспользоваться равенством (7.8) и выразить в нём L через
гамильтониан Н. Проделав это, мы вместо равенства (7.27) получим
^2
8/=8J Р> *))<" = 0, (7.28)
ИЛИ
Я* U
о У} ^ Pidqi- 8 j Hdt = 0. (7.28')
i Qj ti
Равенство (7.28) иногда называют модифицированным принципом Гамильтона.
Мы будем пользоваться им главным образом в связи с каноническими
преобразованиями (см. гл. 8), сейчас же мы покажем, что этот принцип
приводит к уравнениям движения в форме Гамильтона.
Фигурирующая в равенстве (7.28) о-вариация была рассмотрена нами в § 2.1.
Термин "вариация интеграла" мы там понимали в смысле изменения интеграла
при изменении траектории изображающей точки в пространстве конфигураций.
При этом начальная и конечная точки такой траектории оставались
неизменными (см. рис. 9). Кроме того, на вариацию интеграла накладывалось
ещё одно условие, состоящее
§ 7.4] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА 247
в том, что при варьировании траектории изображающей точки время i не
варьировалось. В частности, моменты времени, соответствующие начальной и
конечной точкам траектории, оставались при всех вариациях неизменными, и
поэтому полное время движения являлось для всех траекторий одним и тем
же. Таковы условия, накладываемые на вариацию интеграла, стоящего в
правой части равенства (7.28).
Мы знаем, что процесс варьирования интеграла можно свести к вычислению
дифференциалов, для чего достаточно рассмотреть однопараметрическое
семейство возможных траекторий в пространстве конфигураций. Координаты
д,- становятся тогда функциями времени t и параметра а, указывающего,
какая траектория применяется при вычислении интеграла /. Поэтому этот
интеграл можно рассматривать как функцию а, а вариации входящих в него
величин можно отождествить с их дифференциалами. Символически это можно
записать следующим образом:
(7.29)
Именно такой метод мы применяли при выводе уравнений Лагранжа из принципа
