Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
затем найденное Н в (7.12), мы получим уравнения движения данной системы.
§ 7.2. Циклические координаты и метод Рауса. Уравнения Гамильтона
особенно удобны при исследовании систем, содержащих циклические
координаты. Согласно определению, данному в § 2.6, циклической
координатой qj называется координата, которая не входит в лагранжиан, и
отсюда, как мы знаем, следует (на основании уравнений Лагранжа), что
обобщённый импульс соответствующий этой координате, является постоянным.
Но если р^ будет равно нулю, то согласно уравнениям (7.12) производная
также
будет равна нулю. Следовательно, циклическая координата будет
отсутствовать не только в лагранжиане, но и в гамильтониане *). Пусть
теперь, наоборот, будет известно, что некоторая координата не входит в Н.
Тогда из (7.12) можно будет сделать вывод, что соответствующий обобщённый
импульс р$ будет оставаться постоянным. Таким образом, между
гамильтонианом Н и лагранжианом L здесь имеется полное сходство. Однако
между ними имеется и существенная разница. Если какая-нибудь координата,
например qn, является циклической, то лагранжиан имеет вид
L = L(qx, ..., qn^\> qi> ..., qn> t),
т. e. содержит все обобщённые скорости. Поэтому, несмотря на наличие
циклической координаты, нам всё же приходится решать задачу с ti
степенями свободы. В противоположность этому при описании системы с
помощью гамильтониана циклическая координата qn действительно может быть
названа "игнорируемой", так как при этом импульс рп будет равен некоторой
постоянной а, и поэтому Н будет иметь вид
H=H{ql qn_v рх, ..., pn_v а, t).
Таким образом, гамильтониан будет в этом случае содержать только п- 1
координат, и их можно будет определить, полностью игнорируя циклическую
координату. (Эта координата проявляет себя лишь в виде постоянной
интегрирования а, которая определяется начальными условиями.) После того
как это будет сделано, можно
*) Этот вывод следует также и из уравнения (7.8), согласно которому Н
отличается от - L только на сумму ^ Pi4i> не содержащую qt явным образом.
240
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[ГЛ. 7
будет найти и циклическую координату qn как функцию времени, для чего
достаточно будет проинтегрировать уравнение
• _ дН
Чп~ да'
Возможен ещё один метод исключения циклических координат из уравнений
Лагранжа-это так называемый метод Рауса. В сущности это такой же метод
перехода от переменных q, q к переменным q, р, но выполняемый лишь для
тех координат, которые являются циклическими. При этом получаются
уравнения движения, которые для циклических координат подобны уравнениям
Гамильтона, а для остальных - уравнениям Лагранжа.
Обозначим циклические координаты через qt, .... qs и введём функцию R,
определяемую равенством
8
R(qu ..., qn, рг, .... р8, qa+v . .., qn, t) = Sftft - L. (7.14)
1=1
Эта функция называется функцией Рауса *). Дифференциал её равен
8 П П
,n V ' j v W ,• dl , dL ,,
i = 1 i = 8 + 1 1 i = 1 41
и отсюда можно сделать вывод, что имеют место следующие равенства:
dR • dR • ч /-г 1 г-ч
Wi = qi' ~Pi (t = 1> •••>*) (7Л°)
и
dR dL dR dl ... . .
57,""S' ('-s+l......n)' <7'l6)
Уравнения (7.15) относятся к координатам qlt . .., qs и имеют вид
уравнений Гамильтона, в которых функция R играет роль гамильтониана. В то
же время уравнения (7.16) показывают, что координаты qs+1> ..., qn
удовлетворяют уравнениям
- (f==s+l. п), (7.17)
dt \dqtJ dq{
имеющим вид уравнений Лагранжа, в которых R играет роль лагранжиана.
Воспользуемся теперь циклическим характером координат qlt ..., qs. Так
как ни одна из этих координат не входит в функцию L, то они, очевидно, не
войдут и в функцию R. Кроме
*) Функция (7.14) отличается от обычно определяемой функции Рауса. Это
сделано для того, чтобы функция Рауса была подобна функции (7.8),
определяющей Н.
§ 7.3] ТЕОРЕМЫ О СОХРАНЕНИИ Й ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ГАМИЛЬТОНИАНА 241
того, обобщённые импульсы pv . . ., ps будут постоянны (как
соответствующие циклическим координатам). Поэтому их можно заменить
постоянными ар ..., а8, определяемыми изначальных условий, и тогда
функция Рауса будет иметь вид
т. е. не будет содержать циклических координат и их производных. На этом
основании уравнения (7.17), определяющие нециклические координаты, можно
решать, не рассматривая вопроса о поведении циклических координат.
Следовательно, мы здесь имеем такое же положение, как в уравнениях
Гамильтона. Таким образом, метод Рауса можно рассматривать как основанный
и на методе Лагранжа и на методе Гамильтона (хотя частичное применение
метода Гамильтона является менее естественным, чем полное его
использование).
§ 7,3. Теоремы о сохранении и физический смысл гамильтониана. Мы видели,
что циклическая координата отсутствует не только в L, но ив Н. Поэтому
теоремы о сохранении обобщённых импульсов, полученные нами в § 2.6, можно
было бы вывести не из уравнений Лагранжа, а из уравнений Гамильтона. Это
относится и к тем соображениям о симметрии системы, которые были
