Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
и легко читается. Хотя главное внимание в этой книге уделяется вопросам
электромагнетизма, однако релятивистская механика изложена здесь тоже
довольно полно. Специальной теории относительности в этой книге
посвящается более ста страниц, на которых полностью изложена физическая и
математическая сторона предмета.
*) Имеется русский перевод: А. Эйнштейн, Сущность теории относительности,
ИЛ, 1956.
ГЛАВА 7
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
В первых двух главах этой книги мы всесторонне рассмотрели уравнения
Лагранжа, а позднее - ряд приложений этих уравнений. В этой главе мы
продолжим развитие формальных методов механики и получим уравнения
движения, известные под названием уравнений Гамильтона. Правда, к
физической стороне вопроса ничего не прибавится, однако мы получим новый
(более сильный) метод исследования механических систем. В дальнейшем мы
будем предполагать, что рассматриваемые системы являются голономными, а
действующие на них силы обладают потенциалами, зависящими от положения
или от скорости (см. § 1.5).
§ 7.1. Преобразования Лежандра и уравнения Гамильтона.
Система с п степенями свободы описывается посредством следующих п
уравнений Лагранжа:
Так как они являются уравнениями второго порядка, то для однозначного
определения движения системы необходимо задать началь-
независимых переменных, необходимых для описания движения системы.
Поэтому метод Лагранжа (в нерелятивистской механике) может
рассматриваться как метод описания системы посредством обобщённых
координат и скоростей. В методе, к которому мы сейчас переходим,
независимыми переменными будут обобщённые координаты qi и обобщённые
импульсы р{, определяемые равенствами
(7.1)
ные значения всех п координат qi и всех п производных qt. В этом смысле
координаты qt и скорости qi образуют полную систему 2п
(7.2)
[см. равенства (2.41)]. Наилучший способ перехода от переменных (q, q, t)
к переменным (q, р, t) состоит в применении математической процедуры,
известной под названием преобразования Лежандра.
§ 7.1] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА И УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 237
(которое применяется как раз для таких случаев изменения переменных).
Рассмотрим какую-либо функцию f(x, у). Дифференциал её имеет вид
df = и dx -\-v dy, (7.3)
где
df df ,ч
u=dZ' V=Ty- (7'4)
Перейдём теперь от независимых переменных х,у к независимым переменным и,
у и, следовательно, от дифференциалов dx, dy к дифференциалам du, dy.
Пусть функция g от и и у определяется равенством
g=f-ux. (7.5)
Тогда дифференциал её будет равен
dg=df-udx - х du
или согласно (7.3)
dg = v dy - х du,
где величины х и v являются теперь функциями переменных и и у. Они
определяются равенствами
х = -?? = ^ (7.6)
х du' dy' К }
которые подобны по форме равенствам (7.4).
Преобразование Лежандра, построенное указанным способом, часто
применяется в термодинамике. Например, энтальпия X есть функция энтропии
S и давления Р, причём
дЛ-т дЛ - 1/
dS dP - '
и поэтому
dX= TdS^rVdP,
где Т-температура, а V - объём. Понятие энтальпии оказывается удобным при
рассмотрении изэнтропических и изобарических процессов. В этом случае
целесообразно пользоваться термодинамической функцией независимых
переменных Г и Р. Если с этой целью воспользоваться преобразованием
Лежандра, то такая функция будет иметь вид
О == X- TS, а дифференциал её будет равен
dO = ~ SdT~\-VdP. (7.7)
Функция G известна под названием функции Гиббса.
238
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[гл. 7
Переход от переменных (q, q, t) к переменным (q, р, t) отличается от
преобразования (7.3) - (7.5) лишь тем, что на этот раз преобразуется не
одна переменная, а несколько. Вместо лагранжиана L мы теперь будем иметь
дело с функцией
Н(р, q, t) = '21qipi - L(q, q, t),
(7.8)
построенной по аналогии с функцией (7.5), умноженной на -1. Функцию Н
называют гамильтонианом. Это - та же самая функция Н, которая
фигурировала в правой части равенства (2.50). Считая её функцией
переменных р, q и t, будем иметь
\\дН , < Х?дН, . дН ..
dq{ 2идр{ dt ^ ^
i i
Но согласно (7.8) можно написать
Ttdt' (7Л0>
dqi
причём члены этого равенства, содержащие dqt, взаимно сократятся, так как
согласно определению обобщённых импульсов имеем
^ 1 Pi dqi -
V dL J ' n
Л • dqi ¦ 0.
, dQi
Кроме того, согласно уравнениям Лагранжа
dL
= Pi>
и поэтому уравнение (7.10) принимает вид
dH= qi dpi - ^ ^ dqi -
dL
dt
dt.
(7.11)
Сравнивая теперь (7.9) с (7.11), мы получаем следующие 2/г -(- 1
равенств, аналогичных равенствам (7.6):
Яг-
dH '' dp;'
• dH
Pi~dq('
dL__dH
dt' dt
(7-12)
(7.13)
Уравнения (7.12) называются каноническими уравнениями Гамильтона', они
представляют систему 2п уравнений первого порядка, эквивалентную
уравнениям Лагранжа. Для того чтобы составить эти уравнения для заданной
механической системы, нужно образо-
§ 7.2]
ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ И МЕТОД РАУСА
239
вать лагранжиан L = L(q, q, t) и, вычислив с помощью (7.2) обобщённые
импульсы, составить гамильтониан (7.8) как функцию р qx, t. Подставив
