Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
высказаны нами в главе 2. Пусть, например, некоторая система будет
симметрична относительно фиксированной оси. Тогда можно будет сказать,
что функция Н инвариантна относительно вращения вокруг этой оси и поэтому
не может содержать угла поворота. Следовательно, этот угол является
циклической координатой, и поэтому соответствующий ему кинетический
момент будет оставаться постоянным.
О физическом смысле Н мы уже говорили в § 2.6. Там было показано, что
если L [а согласно уравнению (7.13) также и Н] не является явной функцией
t, то Н есть некоторая постоянная движения. Этот результат можно получить
и непосредственно из уравнений (7.12), вычисляя с их помощью производную
^ 07s+i' • • ¦ > Яп> *7s+1' • • ¦ > Яп' ai> • • • > f),
(7.18)
г
Подставив сюда qi и pi из уравнений (7.12), получим:
г
Отсюда
dt dt dt'
(7.19)
242
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
(гл. 7
Кроме того, в § 2.6 было показано, что если потенциал не зависит от
скорости, а уравнения
rm = rm{qv . . ., qn, t),
описывающие переход к обобщённым координатам, не содержат явно t, то Н
есть полная энергия T-\~V. (Эта теорема верна и в релятивистской
механике; см. § 6.5.) Следует, однако, иметь в виду, что условия, когда Н
является некоторой постоянной и когда Н является полной энергией, не
тождественны, ибо может случиться, что уравнения (1.36) будут содержать
явно время, а Н не будет его содержать. В этом случае Н будет некоторой
константой движения, но не будет полной энергией.
Во многих задачах механики выражения для обобщённых импульсов легко
получить непосредственно из физических соображений. Если, кроме того,
гамильтониан будет при этом полной энергией, то можно будет избежать
многих формальных процедур, нужных для составления уравнений движения.
Рассмотрим простой пример. Пусть требуется составить уравнения движения
точки, находящейся в поле центральных сил. Функция Н будет тогда полной
энергией
Н - Г -f V(r),
а Т будет равно
T=y rnv2 = - m (г2 -j- г2')2).
Чтобы получить теперь уравнения Гамильтона, нужно выразить Н через
обобщённые импульсы, соответствующие координатам г и 0. Обобщённые
импульсы будут, очевидно, иметь следующие выражения:
pr = mvr = mr,
Рц = mrvb mr21).
Отсюда следует, что
; = ?у <; =
m * mr*
и, следовательно,
Таким образом, мы получили гамильтониан, не составляя сначала
лагранжиана. В данном случае мы будем иметь четыре уравнения Гамильтона.
Два первых из них будут иметь вид:
§ 7 .'6] ТЕОРЕМЫ О СОХРАНЕНИИ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ГАМИЛЬТОНИАНА 243
и не дадут нам ничего нового; два других запишутся в виде:
' _ дН Ра dV • __п
Pr тгз дг ' Рб >
т. е. будут совпадать с уравнениями (3.7) и (3.10).
В качестве другого примера того же рода рассмотрим релятивистский
гамильтониан частицы, потенциал которой не зависит от скорости (см. §
6.5). В данном случае гамильтониан также будет равен полной энергии, и
поэтому можно будет написать:
H=T+V,
где кинетическая энергия Т должна быть выражена через количество движения
р, что легко сделать с помощью равенства (6.44), согласно которому
Тг = р2с- -f- m2t4.
Таким образом, будем иметь
Н= Ур2с2 m2ci -[-V. (7.20)
Введение в метод Гамильтона потенциалов, зависящих от скорости, не
представляет никаких формальных трудностей, однако при этом априори не
ясно, является ли Н полной энергией. Мы рассмотрим здесь лишь тот частный
случай, когда действующие силы являются электромагнитными. Лагранжиан
(нерелятивистский) точки, движущейся в электромагнитном поле, имеет вид
, mv2 , a .
L=~2---------qy+-~A-v.
Отсюда следует, что обобщённые импульсы этой точки равны
Pi= mvi-+-2-Av (7.21)
Далее, по определению Н [см. уравнение (7.8)] имеем: H='^iPivi--L = mv2 +
~ A-v - L,
г
ИЛИ
Я = ^+<7? = 7' + <7<Р-
Таким образом, гамильтониан равен в данном случае полной энергии частицы.
Выраженный через обобщённые импульсы (7.21), он будет иметь вид
244
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[гл. 7
Аналогичный результат получается и для релятивистского гамильтониана
частицы, движущейся в электромагнитном поле. Обобщённые импульсы (6.52)
будут здесь, так же как и в классическом
а А,-
случае, содержать дополнительные слагаемые которые в конеч-
ном счёте исчезнут вследствие сокращения членов с векторным потенциалом.
Поэтому гамильтониан здесь опять будет равен полной энергии
Н=Т-<7's-
для окончательного вычисления гамильтониана заметим, что четвёртая
составляющая 4-импульса [см. уравнение (6.58)] равна здесь Щ-,
а релятивистская кинетическая энергия может быть выражена равенством
(6.59). Поэтому Н будет в данном случае иметь вид
Н
= ]/"(/> - y)2 ci Л- т2с*-\- q?. (7.23)
Интересно сравнить гамильтонианы (7.22) и (7.23) с соответствующими
гамильтонианами в случае потенциалов, не зависящих от скорости. Если
потенциал V не зависит от скорости, то Н равно
н-й+у'
где m - масса частицы. Отсюда видно, что для того, чтобы эта формула
совпадала с формулой (7.22), достаточно заменить V на qy,
а импульс р на р - А- Точно таким же путём можно образовать
