Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
(2.44)].
Таким образом, почти все специальные методы, созданные нами для решения
задач классической механики, можно перенести на релятивистскую механику.
С помощью этих методов мы могли бы решить ряд задач, подобных тем, что мы
рассматривали раньше. Например, можно было бы получить релятивистское
решение задачи о движении под действием центральной силы. Орбиты, которые
при этом получаются, имеют в общих чертах тот же характер, что и ранее
(см. гл. 3), однако в некоторых деталях они получаются, конечно, иными,
так как теперь у нас иной лагранжиан.
§ 6.6. Ковариантная форма лагранжиана. Хотя описанная процедура получения
лагранжиана и приводит к правильным релятивистским уравнениям движения,
однако она является релятивистской лишь в определённом смысле, так как не
является кова-риантной.
Например, время t и пространственные координаты xlt х2, х3 мы
рассматривали как величины разного рода, тогда как их следовало
рассматривать как совершенно равноправные координаты пространства
Минковского. Поэтому переменной, к которой мы относим перемещение точки в
пространстве, следует считать не t, а собственное время т, являющееся
инвариантным. Кроме того, лагранжиан должен быть инвариантной
характеристикой материальной системы, не зависящей от того, какая система
координат применяется при её изучении. Поэтому мы должны ожидать, что он
будет некоторым скаляром, инвариантным относительно преобразований
Лоренца.
Наконец, если пользоваться языком четырёхмерного пространства, то, вместо
того, чтобы быть функцией xit xt(= v{) и t, лагран-
cljc
жиан должен быть функцией х.,, и т. Ковариантная фор-
мулировка принципа Гамильтона должна поэтому иметь следующий вид:
где как /, так и ковариантный лагранжиан L' суть два инвариантных
скаляра.
(6.53)
230
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 6
Добиться указанного ковариантного построения можно, однако, не в каждой
задаче механики. Дело в том, что потенциал каждой системы определяется
характером действующих на неё сил, выражения для которых можно получить
лишь с помощью теоретических соображений, выходящих за пределы механики.
Если на основе этих соображений удаётся получить ковариантное выражение
для действующих сил, то можно получить ковариантное выражение и для
лагранжиана L' в равенстве (6.53). Однако не всякие силы допускают
ковариантную форму. Например, часто встречающаяся в задачах механики
гравитационная сила безусловно не удовлетворяет этому требованию.
Гравитационную силу принято рассматривать как "статическую силу
дальнодействия", т. е. как силу, распространяющуюся с бесконечно большой
скоростью. Но в теории относительности понятие такой силы теряет смысл,
так как в этой теории мыслимы лишь силы, передающиеся со скоростями не
больше с. С другой стороны, мы уже отмечали, что электромагнитные силы
удовлетворяют этому требованию теории относительности. Поэтому мы
ограничимся разысканием функции L' для двух случаев: для совершенно
свободной частицы и для частицы, находящейся в электромагнитном поле.
Если исходить из козариантного вариационного принципа для одной
материальной точки, то уравнения Эйлера-Лагранжа, очевидно, будут иметь
вид
и левые части этих уравнений будут преобразовываться как составляющие 4-
вектора. В случае свободной материальной точки лагранжиан её L' должен
быть таким, чтобы уравнения (6.54) сводились к уравнениям
подобным по форме нерелятивистским уравнениям
Это обстоятельство наводит на мысль, что лагранжиан V мож-
1 ?
но получить из нерелятивистского лагранжиана L =-g- mv1 посредством
замены v2 на квадрат 4-скорости и.,. Таким образом, будем иметь
(6.55)
(6.56)
В справедливости сделанного выбора можно убедиться с помощью
§ 6.6] КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА ЛАГРАНЖИАНА 231
непосредственной проверки. Действительно, так как MJ " dL'
^ = Ш1==ти> = р>'
то уравнения (6.54) совпадают с уравнениями (6.55) *).
Пусть теперь точка находится в электромагнитном поле. Тогда лагранжианом
L' будет
L' = -j ти.,и^ -f-у ихА\- (6.57)
Обобщённые импульсы будут здесь равны
л = (6-58)
и поэтому уравнения (6.54) будут иметь вид
L
di '
или
d д I а . \ q dA.,
^ти'=ш\ти^)-Т1н
ти'==шХ$ахА')'
Но эти уравнения совпадают с обобщёнными уравнениями Ньютона [см.
уравнение (6.30)] в случае, когда сила Минковского равна
что совпадает с выведенной ранее формулой (6.33).
Обобщённый 4-импульс (6.58) опять не равен обычному количеству движения и
отличается от него дополнительным членом, содержащим электромагнитный
потенциал. Следует заметить, что не равно здесь просто iT/c, как в случае
отсутствия сил [см. уравне-
*) Следует заметить, что правая часть равенства (6.56) является
постоянной величиной, равной с3. Однако это не является для нас
существенным, так как для нас важно только то, что функциональная
зависимость U от п., обеспечивает получение нужных нам уравнений. Но это
означает, что выражение (6.56) не является единственно возможным.
Действительно, U может иметь вид mf(u.,u.,), где f (х) - некоторая
