Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Гамильтона. Этот метод мы применим и сейчас, но только вариации величин
дар будем считать теперь независимыми, так как в методе Гамильтона
координаты q и импульсы р рассматриваются как равноправные координаты,
описывающие состояние системы.
Записывая равенство (7.28) с помощью параметра а, мы будем иметь
и
или
Ы = х- - da. ~ (
Он Он I
7 и
dt = О,
(7-30)
tL i
(так как и t2 не зависят от а). Кроме того, так как варьирование
dqi
производится при постоянном г, то в члене можно изменить порядок
дифференцирования по t и по а и заменить этот член на
ш (c) • Тогда П0ЛУЧИМ
t3 ^2
dqi (' d dq{ Г n. dJl
tL i, 1 Й
причём первое слагаемое правой части этого равенства будет равно нулю,
так как все варьируемые траектории проходят через одни и
248
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[гл. 7
те же конечные точки, и поэтому при t - tx и t = t2 производная
обращается в нуль. Учитывая это и полагая
da-^ - bq, и da^i-=bpi
да чг fix
[см. (7.29)], мы можем равенство (7.30) записать в виде
tx X
Но так как вариации oqi и 8pi являются независимыми, то этот интеграл
может обращаться в нуль только тогда, когда равны нулю коэффициенты при
вариациях bq-г и оpi. Таким образом, мы получаем равенства
• _дН_ ¦ дН
4i - dp,j ' Pi ~ dqt '
совпадающие с уравнениями Гамильтона.
Требование независимости вариаций 8и 8/7^ играло в этом доказательстве
весьма существенную роль. Это обстоятельство подчёркивает основное
различие между методами Лагранжа и Гамильтона. В методе Лагранжа
поведение системы описывается её обобщёнными координатами и обобщёнными
скоростями <7г. Но переменная qi тесно связана там с переменной qt, так
как она равна производной от qi по t. Поэтому при выводе уравнений
Лагранжа мы должны были выражать вариации bqt через независимые вариации
bqt. Это делалось с помощью интегрирования по частям, в ре-
d / dL \
зультате чего появлялись члены -тг -г- ), приводившие к уравне-
at \dqt /
ниям движения второго порядка. Из модифицированного же принципа
Гамильтона мы получили уравнения первого порядка, и это удалось сделать
только потому, что в отличие от 8^{ мы считали Ьрц не зависящими от 8qt.
Это значит, что обобщённые импульсы мы считаем такими же независимыми
переменными, как обобщённые координаты, и считаем, что pt связаны с qt и
t только уравнениями движения, а не каким-либо заранее заданным
соотношением. Таким образом, ни систему переменных qit ни систему
переменных р* мы не рассматриваем как основную, а считаем эти переменные
одинаково независимыми. Только увеличивая таким способом число
независимых переменных с и до 2п, мы можем получить уравнения движения
первого порядка. В связи с этим следует заметить, что термины
"координаты" и "импульсы" являются неудачными, так как они вызывают
представление о пространственных координатах и таких величинах, как
количество движения или кинетический момент)
§ 7.5]
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
249
Теперь, однако, им следует придать более широкий смысл и считать, что
разделение переменных на координаты и импульсы есть разделение
переменных, описывающих движение, на две независимые группы, связанные
друг с другом посредством уравнений Гамильтона почти симметричным
образом.
§ 7.5. Принцип наименьшего действия. Другим вариационным принципом,
подобным принципу Гамильтона, является принцип наименьшего действия. Если
стремиться к наиболее общему определению, то под действием в механике
следует понимать интеграл
Принцип наименьшего действия утверждает, что в системе, в которой Н
остаётся постоянным, справедливо равенство
^2
где Д - так называемая полная вариация, определяемая ниже.
Как мы уже говорили, S-вариация соответствует виртуальным перемещениям
системы, т. е. таким перемещениям, при которых время t оставляют
неизменным, а координаты варьируют в соответствии со связями, наложенными
на систему. Такое перемещение не всегда принадлежит к числу перемещений,
которые могут иметь место при движении системы. Это будет, например, в
случае связей, зависящих от времени. Поэтому движение, получающееся в
результате S-вариации, может быть таким, что гамильтониан его не будет
постоянным. В противоположность 8-вариации полная вариация Д связана с
перемещениями, которые обусловлены не только варьированием траектории, но
и изменением времени t. Поэтому траектория, образующаяся при Д-вариации,
состоит из точек, получающихся в результате перемещений, обусловленных
также дифференциалами времени. Вследствие этого мы можем потребовать,
чтобы движения, получающиеся при Д-вариациях, были физически возможными,
для чего можно потребовать, чтобы Н было постоянным не только на
действительной траектории, но и на траекториях, получающихся в результате
Д-вариаций. Время движения вдоль таких траекторий уже не обязательно
будет одним и тем же, так как для сохранения гамильтониана точке придётся
ускорять или замедлять своё движение. Поэтому Д-процесс предполагает
варьирование t даже в конечных точках траектории, где вариации величин qt
