Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
полученного после цифро-аналогового преобразования выходного сигнала
фильтра.
х(пТ!
Уусг<ПТ! 1 4 6
у(г
Рис. 2.9
-0J5| I t 1
2.S.2. Основные свойства частотных характеристик. Нормировка частоты
Из формул (2.11) - (2.15) следуют основные свойства частотных
характеристик фильтров с вещественными коэффициентами.
1. Все частотные характеристики представляют собой периодические
функции частоты (в с периодом со и, определяемым (1.14).
Пример 2.12. Для условий примера 2.10 при Г= 1/8000 с на рис. 2.10
построен график двух периодов функций Л (со).
2. Амплитудно-частотная характеристика Л (ев) и ГВЗ т(<в) представляют
собой четные функции частоты <в, а фазо-частотная характеристика ф (ев) -
нечетную функцию частоты св.
Из указанных свойств следует, что требования к частотным характеристикам
при постоянном значении Т следует задавать лишь на интервале [0, л/Т]. С
целью упрощения сопоставимости частотных характеристик различных фильтров
нормируют частоту одним из двух способов. При первом способе полагают
нормированной частоту <в=юГ, тогда <вд = <ВдГ=2я и требования к частотным
характеристикам задаются на интервале [0, я]. При втором способе полагают
нормированной частоту ю=свТ/(2я), тогда сь = содТ/(2я) = 1 и требования к
частотным характеристикам задаются на интервале [0; 0,5]. В справочнике
используется, как правило, второй способ нормировки. При этом изменяются
аргументы в обозначениях частотных характеристик Н(е1 к2я), Л(ш), ф(ш) и
т(ш).
Рис. 2.10
57
2.3.3. Импульсная характеристика
Импульсная характеристика h(nT) фильтра представляет собой реакцию
фильтра при нулевых начальных условиях на входное воздействие:
Гсп-Г <2-16>
10 при п-5^=0.
ной с
ч
10 при п-7^=0.
Из этого определения и определения передаточной функции следует, что
h (п Т) = Z-1 {Н (г)};
H{z)=Z{h{n Т)}.
Из (2.17) следует, что h(nT) и Н(е'ит) связаны парой преобразований
Фурье:
(2.17)
rp TtfT 2я
i со Т\ Л п to Т .
h(nT) = - j Я ( е Г) е
-п/т
Я(е*иГ)=2 h(nT)e-inaT.
п=О
(2.18)
Пример 2.13. Пусть Я(г) =1+0,Зг-1-0,2г-2, тогда h(0) = 1; h{T) =0,3;
h(2T)=-0,2; h(nT)- 0 при л^З.
Пример 2.14. Пусть Я(г) = (1-г_1)./( 1+0,5г-1). Используя (1.7), получаем
1 при п=0;
1-1,5(- 0,5)n_1 при п^1.
h(nT) =
В зависимости от характера импульсной характеристики дискретные и
цифровые фильтры принято [1.6] делить на следующие два класса: КИХ-
фнльтры (фильтры с конечной импульсной характеристикой) и БИХ-фильтры
(фильтры с бесконечной импульсной характеристикой). Отметим, что все
практически реализуемые НФ являются КИХ-фильтрами, а почти все РФ {за
исключением тех, у которых передаточная функция может быть преобразована
к виду (2.4)] являются БИХ-фильтрами.
Зная h(nT), можно рассчитать при нулевых начальных условиях выходной
сигнал фильтра у(пТ) по заданному входному сигналу х(пТ). Из (1.2)
следует, что последовательность у{пТ) представляет собой линейную свертку
(см. 1.4) последовательностей х(пТ) и h(nT), причем эти три
последовательности могут быть как конечные, так и бесконечные:
п п
y(nT)=Y,h{lT)x{(n-l)T)=Y,x{lT)h((n-l)T), я= 0, 1,..., (2.19)
1=0 1=0
при этом Л(я7)=0 при я<0 и х(пТ)= 0 при п<0.
Пример 2.15. Пусть A(0)=1; h(T)=-0,5; h(nT)= 0 при 2; х(0)=-1; х{Т) = 1;
х(27) =0,5; х{пТ)=Ь при п^З. Из (2.19) получаем:
1/(0) =h(0)x(0) =-1; у (7) =h (0)х (Г) +h (7) х (0) = 1,5;
1/(27) =&(0)х(2Т) +h(T)x(T) =0; у (37) =h(T)x(2T) =-0,25; ц(я7)=0 при
"5=4.
58
Для вычисления (2.19) при обработке сигналов нерекурсивным фильтром можно
использовать рассмотренные выше (см. 1.4.4) методы секционирования
свертки.
2.S.4. Второй критерий устойчивости фильтров
Из определения (2.9) и (2.19) следует второй критерий устойчивости
фильтров: для того чтобы фильтр был устойчив, необходимо и достаточно
выполнение условия
СО
2 ЩпЛКЯь (2.20)
п=0
где D, - константа.
Второй критерий менее удобен для проверки устойчивости фильтра, чем
первый.
2.S.5. Теорема Парсеваля
Пусть х{пТ) и у(пТ) -комплексные последовательности. Тогда [1.6] согласно
(1.6)
со гр гг/Г
2 х(пТ)у(пТ)=- { X (ei<oT)Y(el(oT}dco,
п=0 Я 0
где а - величина, комплексно-сопряженная с а: X(е'"г) и У(е1аТ)-спектры
последовательностей х(пТ) и у{пТ).
В частном случае при х(пТ)=у{пТ)
ОО гр 31JT
2* !*(яГ)|2 = - J \X(tlaT)\2do. (2.21)
п=0 л о
Равенство (2.21) называется теоремой Парсеваля. Согласно
(2.21) для любого
фильтра с действительными коэффициентами справедливо равенство
оо rp 3XJT
2 А2(яГ)=- J !я(е'"г)|24со. (2.22)
гс=0 п о
Из (1.6) при Xi(nT)=Xi{nT)=h(nT) следует равенство
ОО |
2 № (пТ) = --г §Н (2) Я ( г-1) г-1 dz, (2.23)
п=о * л 1
где в качестве контура интегрирования выбрана единичная окружность.
Для вычисления интеграла в (2.23) можно использовать (1.8), полагая
F(z)=H(z)H(z-x)z~l и учитывая при вычислении только полюсы, расположенные
внутри единичной окружности.
Пример 2.16. Пусть Я(а) =1/(1-0,5z-1). Тогда из (1.8) и (2.23) получаем
|/ m*¦
Поскольку внутри единичной окружности находится только полюс Zi=C,5,
