Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
временной области отсчеты берутся в нечетные, кратные Г/2 моменты времени
х((п+Ч2)Т), п=0,... ,N-1, а в частотной области - в нечетные, кратные 1
/2NT, точки частотной оси: А (/г+'/2), k=Q,...,N-1.
Пара преобразований Н2ДПФ имеет вид:
дг 1 2я(2А+1) (2п+1)
д, j ; 2n(2fe+l)(2n+l)
*(("+ 2 )7')== N 2о Х(&+ 2 )6 ^ * (L83)
Преобразование (1.82) называется прямым, а (1.83)-обратным (Н2ОДПФ). В
случае действительной входной последовательности с нечетной симметрией
х ((N-п-) Т) =-х ((п+ -) Г) справедливо соотношение 2 2
(1.84)
причем X(k+l/2), k=0, ...,N-1, является действительной
последовательностью.
40
Процедура вычисления Н2ДПФ таких последовательностей задается следующим
образом [1.20]:
1) формируется комплексный вектор z, содержащий Л74 элементов: z=[* ((л +
1/2) Т) - i*((JV/2 + 2л + 1/2)Т)],я = 0, ... , NJ4 - 1 ;
*¦ (n+J-\
2) каждый элемент вектора z умножается на множитель е N V 8 /
Л=0, ..., N/4-1, в результате чего получается вектор U;
3) вычисляется стандартное Nj4-точечное ДПФ вектора U, результат - вектор
V;
-1 -(*+-),
4) каждый элемент вектора V умножается иа множители е N \ 8 )
А=0, ..., N/4-1, в результате чего получается вектор W.
Действительная и
мнимая части элементов полученного вектора W и есть искомые
коэффициенты
Н2ДПФ:
г'=тИи+т)+'х(2'+т+т))- <185)
Недостающие отсчеты определяются из соотношения (1.84).
Пример 1.26. Вычислить 8-точечное Н2ДПФ действительной последовательности
с нечетной симметрией х(пТ) = [ 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1]:
1) Z = [l + i, 1 + !];
Г -I - -1-1
2)U=[(l + i)e 32 ,1/2 е 32 J;
3) 2-точечное ДПФ вектора U равно:
JL _* 711
(l+Vf+iJe '32 , (1-1/2+ i)e * 32 J ;
4) W = ?(1 + V2) cos jj- + sin-^ + i ^cos sin ~ (1+1/2)^ ,
(V2-1) cos ^ + sin ^ + i ( cos ± + (1-У2) sin ^)] .
Согласно (1.85):
х(т) = 2(1+уГ)с051+251п1: x(4+t)=2cos^-
-2 (1+1/2) sin ? ;
x(2+T)==2(1/r~1)cos^+2sin^ ; x(6+T) = 2cosi?+2(1~vT)sin^-
Пользуясь (1.84), получаем:
X (1 + 1/2)= - *(6+1/2) ; X(3+1/2)=- X(4+l/2);
X (5+1/2)= -X (2+ 1/2) ; X (7+1/2) = -X (1/2).
41
Дискретное косинусное преобразование (ДКП). Этот вид преобразования
последовательности х(пТ), "=0,..., Я-1, определяется как
2 с (k) Лг-1
х= 2 *(n т)cos[п(2п+^k/&NK' <L86>
¦'v n=0
где C{k)- Jl/V2 при ?=0;
11 при k=l, ..., Я-1.
Обратное ДКП (ОДКП) имеет внд
N-l
х(пТ) - ^ X (ft)cos [я (2n-j- 1) k/(2N)], n = 0, ... , Я-1. (1.87)
4=0
Дискретное косинусное преобразование можно вычислять с использованием //-
точечного ДПФ [1.21]. Пусть N- 1
F{k) = у; х (л Т) cos [я (2 л + 1) k/(2N)\, fe = О, ... , Я-1,
n=О
и последовательность у(пТ), л=0,.., Я-1, такая, что
у{1 Г) = х(2/Г); у ((/ + Я/2) Т)-х ((2/-{- 1) Т), 1 = 0, N/2- 1.
Если вычислить JV-точечное .ДПФ следующим образом:
. 2Я4
Я(*)=е2ЛГ2 y{nT)Wf,
- п= 0 _
то В(/г)=Ке(Я(/г)) и
Д (Я-?) == Im (Я (ft)), fc = 0, ... , Я/2, а искомые коэффициенты ДКП
X {k) = 2F (к) С (k)/N, к = 0, ... , Я-1.
При цифровом преобразоваинн первичных (12-канальных) групп с (частотным
разделением каналов) возникает необходимость вычисления 14-точечных ДКП.
В этом случае более эффективным является алгоритм, предложенный в [1.18,
1.19]. Пусть требуется вычислить
i?, ( я (2 л 4- 1) . \
х{пТ)=^ X (Щ cos - -0-' - k , л = 1..12. (1.88)
4=0 \ УеЛс 28 Jkh, )
Так как
х ((14-л-1) Т) = ^ ( -l)feX(fe)cos .
*=о 28
то можно определить две последовательности:
" я (2 л -}- 1) 2 ft
ап = 2 *(2*=)с<* 0Т -;
4=0 28
Л v , n г я(2п + 1) (2Л+1) , _
Оц== 2j X (2k-\-\) cos -------------------------------------------------
, л=1.6,
4=0 28
такие, что an+bn=x(riT) и ап-Ьп=х(( 14-"-1)7').
42
Пусть Ch=cos(nfe/28), k-l, ..., 13. Тогда справедливы соотношения:
а3=Л'(0) - -X(4)+*(8)-X(12);
(ах -f- иё)/2
[
(а2 + а4)/ 2
Выражения, отмеченные "*", соответствуют 3-точечной круговой свертке
*0 ^1 ^2 ~Уо~
Zl ; = х2 х0 Ух
-*2- 1- о* н и -Уч
которая может быть вычислена с использованием полиномиальных
преобразований (см. 1.47) следующим образом [1.12]:
(*о ~Ь xi ~Ь *2)
(У0+У1 + У2);
(*2 + *i-2х0) ,
Щ =---------g------(У0-У2) ;
(*о + *2-2 *i) ,
т2 =------------------- (У2-У1) ;
Щ = -
(x0+Xi-2х2)
(У1-У0);
(1.891
z0 = m0-f-m2-т4 ; = т0 -т! - /7% ; г2 = /л0 - /л2-{-/л3.
Для вычисления Ъп используются тождества:
Сг - С7 (Св-{-Св ); С9 = С7 (С2- С12) ;
С3 = (Ci ~f~ Сщ); C14 = С, (С4 - С10);
С6 = С7(С2 + С12); С13 = С7(С6- С8 ) .
Пусть X'(k)=C7X(k)=X(k)!Y2, й=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Тогда Ъ3=Х'(7)+ +
(X'(l)-^(13))-(^(3)-r^(ll))-(Z'(5)-Z'(9));
Г (&1 + (,5)/2 С4 С12 Се ¦- (1) + Л"(13)' -Х'(7 Г
№*-W/2 = С*12 с8 -с4 • х' (3) + А"(И) - Х'(7)
L *6 . С8 С4 С42_ . X' (5)- Х'(9) _ -Х'(7)_
Г (bi-h)/2~ Cic C2 C6 ~-(jf' (I) 4- A-' (13))-
- (h+bi)/2 c2 C6 -C10 X' (3) - X'(U)
L -л C8 C18 c2 _ . - (X'(5) + X'(9)) _
43
где Ь'6+Ь"б=Ь6. Преобразования, отмеченные могут быть вычислены по
алгоритму (1.89). В общей сложности для вычисления (1.88) потребовалось
16 операций умножения и 76 - сложения.
1.6. СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
