Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
сигналов ЭЧД при тп=3.
x(vn
X(z7
Т-Т/т
1 х (/77} х(пТ)
1 Х*Ъ) М2) 1
Ьтп
а)
Рис. 2.14
\т
5)
x*Wy
X*(zm)
ФТ)
т=зт
|Х (ПТ)
л
Рис. 2.15
2.5.3. Компрессор частоты дискретизации
Компрессор частоты дискретизации (см. рис. 2.14,6), уменьшающий частоту
дискретизации входного сигнала в m раз \т - целое), представляет собой
ключ, который замыкается в моменты времени t-timT+kT, k-0,1,... ,m-1;
я=0,1,2,..., т. е. из входного дискретного сигнала, описываемого
решетчатой функцией х(п7), п=0, 1,2,..., с периодом повторения Т, берется
только каждый m-й отсчет, что позволяет получить выходной дискретный
сигнал, описываемый
решетчатой функцией x*(y7')=x*(ym7), v=0, 1, 2........ с периодом
повторения
Т'=пгТ.
|Х(пТ)
Life
x*(vn
ш
т7*Г,
Рис. 2.17
Операция, выполняемая КЧД, часто называется прореживанием, а
последовательность х* (\Т') на выходе КЧД - прореженной.
На рис. 2.17 показаны последовательности х(п7) и х* (у7г) на входе и
выходе КЧД при уменьшении частоты дискретизации в 4 раза (m=4; k=2).
Z-преобразования выходного и входного сигналов КЧД связаны соотношением
[2.7, 2.9]
K(2')=zk~y е
1 m-1 i 2 Л -k ( i 2 Si -
1 т I
X\ze
k=0, 1,..., т- 1, (2.33)
ГДе z~exP(in>7); z'=zm=exp(iа>тТ), a X(z) и X*h(z') - z-преобразования
решетчатой функции х(п7) и прореженной смещенной решетчатой функции
**(v7'+k7).
3-89
65
В практических случаях, как правило, выбирают k=0. При этом связь между
z-преобразованиями выходного и входного сигналов имеет вид
I
1 т-1 / i 2 31
x*(z') = - 23 х[жь т
т i=о '
(2.34)
Соответствующее соотношение для спектров выходного и входного сигналов,
получаемое из (2.34), имеет вид
1 т-1 I i со r+i 231 - \
2 Х\е т
" ^0 4 7
или
X* ( gi 2л m C?J'
i т-I ( i 2 л Гш+-\\
')=^г2*(е 1 mJj'
m /=о v 7
(2.35')
(2.35")
Из (2.35) видно, что спектр выходного сигнала есть сумма спектров
входного сигнала, сдвинутых относительно друг друга по оси частот со на
величину 2л/(тТ). На рис. 2.18 условно показаны модули спектра входного
сигнала (рис. 2.18,а) и составляющих спектра выходного сигнала (рис.
2.18,6) КЧД при уменьшении частоты дискретизации в 3 раза (т-3).
| XI | X,- I Х"- 1 х; j х|-1 _ 1 1 ^
\ ? \ N \ tA / 3t/T гя/т со v>=0 х 1
- -
0
Рис. 2.18
В основной полосе частот сое[0, n[{tnT)] спектр выходного сигнала КЧД
определяется как [2.11]
X*
j т-1 / 1иГ-М(-1)г -
(el(r)mr)==_L V X? е т L 2 J ) =
m z=o V
im
i со T-\-\ 2?t
Г-]
Я- \ L 2 J I ib>T-l2n -
m J + У1 ^2/-i ^ e
(2.36)
m { i=o' 'i=.\
где Х;(е!мт)-/.я составляющая спектра входного сигнала, занимающая полосу
частот | со 1
['liar' (/+1)^И:
m-1 г,
х(е|<оГ) = ^ Х/(е1"з-)= ^(x+(eifflJ') + X7(ei"r)); (2.37)
га-1
вб
X (е!и7) при [ш|ер ' (/+1)--]
Xi(eiaT)= - (2.38)
° ПРИ 1ш1^[ if- (/+1)^]*
a Xi+ (е*"г) и -Хг-(е*шг) соответствуют верхней (ш>0) и нижней (ш<0)
полосам I-го спектра. В формуле (2.36) [¦] означает наибольшее целое
число, ие превышающее заданного числа, верхний индекс "+" (Х+г)
соответствует четным /, а "минус" (X~i) - нечетным /.
Смысл формулы (2.36) состоит в следующем. Если основной спектр входного
сигнала КЧД условно разбить на т составляющих, занимающих т полос на оси
частот шириной я/(т7) [см. (2.37), (2.38)], то после уменьшения частоты
дискретизации в m раз в основную полосу частот йе[0, it/(m7)] выходного
сигнала попадают прямые спектры Х+г(-) четных составляющих (/=0,2,...) и
инверсные спектры Z_;(-) нечетных составляющих (/=1,3,...) входного
сигнала.
На рис. 2.18 показана графическая интерпретация формулы (2.36) при
уменьшении частоты дискретизации в 3 раза (т=3). Спектр входного сигнала
условно разбит на т=3 составляющих (^*о, Х±и -^г), занимающих соответ-
я 1 ГЛ,Я1Г"Л Я1
ственно частотные диапазоны |ш]= 0, -- , - л2-- I, 12--, - .
' 37 J |37 37 J L 37 7 J
После уменьшения частоты дискретизации в 3 раза в соответствии
с (2.36)
в основной полосе частот спектр выходного сигнала имеет вид
1 \ (
т. е. в основную полосу частот ше[0, я/37] выходного сигнала
попадают со-
ставляющие Х+о(-), Х+2(-) при /=0,2 и ^"i(-) при /=1.
Наложение спектров при уменьшении частоты дискретизации отсутствует, если
спектр входного сигнала занимает только одну из полос частот
r-~ sSco<(r+l)-^-, г = 0,1,..., m- 1. (2.39)
ml ml
Условие (2.39) соответствует обобщенной теореме Котельникова,
устанавливающей связь между шириной спектра и частотой дискретизации
сигнала
[1.5].
Выражение для спектра выходного сигнала КЧД (2.35) с помощью теоремы
смещения преобразуется к виду [2.11]
| /П-1 ОО
X*(eicamT)=-у; y,X{(nT)e~ie>nT, (2.40)
m
1=0 ft-о
где xi (пТ) =х(л7) exp (-i2n n).
m
Формуле (2.40) соответствует эквивалентная схема КЧД, показанная на Рис.
2.19.
3* 67
2.5.4. Простейшие восходящие дискретные системы
Простейшая восходящая дискретная система представлена на рис. 2.20,а.
Входной дискретный сигнал х{уТ') -x{vmT), v=0,1,2,..., с интервалом
дискретизации Т'=тТ поступает на ЭЧД, увеличивающий частоту дискретизации
