Оптика - Годжаев Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
направлен по единичному вектору R0. Формула (2.35) определяет мгновенное
значение потока электромагнитной энергии, излучаемой по направлению 0.
Диаграмма зависимости 5 от по-
31
лярного угла 0, подтверждаемая опытными данными, дана на рис. 2.7,
На практике представляет интерес определить не только мгновенное значение
потока излучения, но также величину потока энергии, излучаемого
осциллятором за единицу времени по всевозможным направлениям. С этой
целью мы должны проинтегрировать выражение (2.35) по замкнутой
поверхности, окружающей осциллятор:
/ = \ Sda. (2.36)
Рис. 2.7 '
Так как элемент поверхности в сферических координатах равен
do = R2 smQdQdtf,
то для полного количества энергии, излучаемой осциллятором за единицу
времени (для интенсивности излучения), получим
.. 2я я ..я
1 = j d(f j sin3 QdG = j " COb2 6)sin Ш = %r ¦ (2-37)
о о 0
Учитывая (2.31) в (2.37), находим
, 2q4*
< - Зсз • (2.38)
Следовательно, световые волны излучаются при ускоренном движении
электрических зарядов.
Следует отметить, что этот вывод верен при условии v <с. Однако в
материальной среде тела могут двигаться со скоростью, большей скорости
света в данной среде *. Можно доказать, что если заряженная частица
движется со скоростью, большей скорости света в данной среде, то она
излучает электромагнитную энергию даже при равномерном прямолинейном
движении (эффект Вавилова - Черенкова).
Как мы уже замечали, из-за большой частоты световой волны (1014-1015 с-1)
все приборы, в том числе и глаз, регистрируют не мгновенное, а
усредненное по некоторому времени Т значение энергии. Поэтому
целесообразно вычислить среднюю энергию за время Т:
т
Поскольку то имеем
Р = р0 COS (i)0t,
= 4
* Этот факт находится в полном согласии с теорией относительности,
согласно которой недостижима лишь скорость света в вакууме - с.
32
Так как cos2 со0t = 1/2, то
7 = |fPo. (2.40)
Формула (2.40) определяет среднюю интенсивность излучения (это выражение
называют полной мощностью излучения) осциллятора. Следовательно, приходим
к выводу, что при гармоническом колебании электрона излучается
монохроматический свет с той же частотой со0, причем интенсивность
пропорциональна coj (или же
1/Л".
Добротность осциллятора. Правильность полученного результата вызывает
некоторое сомнение. Дело в том, что в основе нашей модели излучения лежит
тот факт, что колебание осциллятора является незатухающим, происходящим
по закону косинуса с постоянной амплитудой. Так как при этом осциллятор
непрерывно излучал бы энергию согласно формуле (2.40), то принятая модель
гармонического осциллятора не может быть верной, если потеря энергии за
счет излучения при большом числе колебаний не составляет ничтожную часть
средней энергии осциллятора. С целью выяснения, имеет ли это место в
данном случае, определим полную энергию осциллятора:
wnom = wn+w"^ + ^,
где г- скорость движения колеблющегося электрона.
Так как средняя кинетическая энергия гармонического осциллятора равна
средней потенциальной, т. е.
а г2 тг"
~~2~ ~2 '
то, проведя усреднение за период, получим
"cog о 2 Г макс- 2(j2
wn0№ - а/-2 = mf* = ,'вкс = 5 pi, (2.41)
где р0 = qrmKt.
Энергия, излучаемая за период, равна
XV/ / гг wi!Po 2л 2жо1р1 /о 1 о\
-II - Зсз • Ио - Зсз • (Z-qZ)
Произведение 2л на отношение полной энергии к энергии, расходуемой за
период, называется добротностью осциллятора (Q):
<2 = 2л5^' = 2лхГ^~~~ • 3c3 = -J^-. (2.43)
х W тл 2ц*-2лш0Рй 2 q2a0 ' '
Для оптических частот (v" = 1015 с-1) Q^IO7. Следовательно, потеря
энергии осциллятора вследствие излучения настолько мала, что можно было
бы взять среднюю энергию для большого числа колебаний и это среднее
считать медленно меняющейся во времени функцией,
2 Годжаев Н. М.
33
Продолжительность излучения осциллятора. Найдем закон убывания энергии
осциллирующей системы во времени. Очевидно, изменение энергии осциллятора
в единицу времени определится выражением (2.40), т. е.
dW со*
dt
Зсз
Р о-
(2.44)
Учитывая (2.41) в (2.44), получим
d\V _
dt
3 тс*
W,
(2.45)
где W - полная энергия гармонического осциллятора, Обозначив = у, имеем
из (2.45)
dW ,,
= -ydt,
w
или после интегрирования
W = Wue~y(, (2.46)
где W0- энергия осциллятора при t - 0.
Следовательно, энергия гармонического осциллятора уменьшается со временем
по экспоненциальному закону. Как видно из
(2.46), при t = -~ - т энергия осциллятора уменьшается в е раз (рис.
2.8). Поэтому т = ~ называют временем жизни осциллятора при свободном
излучении. Следует отметить, что в общем случае энергия осциллятора может
уменьшаться и по другим причинам - вследствие ударов, эффекта Доплера,
вызванного тепловым движением, вследствие электрического и других типов
взаимодействий осцилляторов. Поскольку нас интересует свободное излучение
атома, то причины эти нами рассматриваться не будут. Поэтому не случайно,
что величину т мы связали с процессом свободного излучения. Так как время
жизни осциллятора (атома) при излучении имеет важное значение в
