Оптика - Годжаев Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
для решения задачи нужно предположить существование кроме падающей
плоской волны еще, по_ крайней мере,, двух плоских волн-отраженной и
преломленной, Учитывая это, для электрических векторов соответствующих
волн имеем:
падающая волна ?п = Епье1 отраженная волна ?отр = ?°тре,("отр^-&отр''>> ¦
(3.4)
преломленная волна ?пр = ?jjpei("np^-*np'r). .
Учитывая (3,4) в (3.2), получим
(toOTP/-l01PrT= ?0пре< (сопр/-1прЯ. (з 5j
Легко доказать, что условие (3.5) удовлетворяется при любом t и в любых
точках плоскости раздела, если
Для доказательства (3.6) граничное условие (3.5) перепишем в следующем
виде:
Ае""п< -f Ве"°°тР/ = Се'"пр', (3 5а)
где А, В и С - величины, не зависящие от t.
Продифференцируем (3.5а) по времени:
icoMe"°'v + гсйотр?еш°тр*' = шпрСе'И
Отсюда
"ПР/
Jp - (сйМе1сЛ + сйотрБе'"°тРг) = Се"
ш"Р
,пр ,
(3.56)
(3.5в)
мотр. Ана-
Сравнивая (3.5а) и (3.5fe), получим
А (сопр - соп) е1(°П/ = ((r)отр - сопр) Be "ПТР/.
Это равенство удовлетворится при любом t, если ип логичным образом,
определяя из уравнений (3.5а) и (3.5в) выражения для
Bel(i,mpt и приравнивая их, получим ип = о)"р, что и тре-
бовалось доказать. Доказательство равенства компонентов волновых чисел
принципиально ничем не отличается от вышеприведенного (вместо
дифференцирования по времени проведем дифференцирование по координатам х
и у).
Вывод законов отражения и преломления. Если волновой вектор падающей
волны лежит в плоскости хг, то k" - О и, следовательно, k°TP = knv, т. е.
волновые векторы всех трех волн лежат в одной плоскости, которая, как
принято, называется плоскостью падения (на рис. 3.1 эта плоскость
заштрихована).
Если ввести углы падения ф, отражения ф' и преломления ф, то, как следует
из рис. 3.2,
Рис. 3.2
= sir\(p, Ч - SiHvf
knJP = k0Tp sin ф', (3.7)
kaP = knv sin ф. J
Если принять во внимание, что [ k \ = ", то имеем:
dT 3" II с
^0Тр = Сй/У" (3.8)
?пр = С0/У2, j
где fi н t)2-' скорости распространения света соответственно в первой и
во второй средах.
Из (3.6) - (3.8) имеем
Sin ф sin ф' sin ф
Vi
Vi
(3.9)
Отсюда !ф = q/' и
sin Ф v2
sin ф У1
(3.10)
Как известно, (3.9) и (3.10) есть законы отражения и преломления света.
Следовательно, предположение трех плоских монохроматических волн, а также
учет граничного условия дают возможность вывести известные из опытных
данных законы отражения и преломления, прийти к выводу о равенстве фаз н
частот всех трех волн на границе раздела *.
Формулы Френеля. Определим теперь распределение интенсивности света между
отраженными и преломленными световыми волнами. С этой целью удобно
разложить вектор напряженности электрического поля (световой вектор) у
всех трех волн на два взаимно перпендикулярных вектора - один в плоскости
падения,
2) электрический вектор перпендикулярен плоскости падения. Подобное
разложение электрического вектора на две компоненты позволяет определить
интенсивности отраженного и преломленного лучей, исходя из законов
изменения каждой из этих компонент.
Как следует из рис. 3.3,
Кружочками на рисунке обозначены компоненты, перпендикулярные плоскости
чертежа. За положительные направления условно
* Такое заключение верно, если падающее световое поле слабое.
Соответствующие исследования показали, что при больших иншнсивностях
излучения, падающего на границу раздела двух сред, возникают иовые
явления, в резуль-1ате чего в составе отраженного света встречаются лучи,
направленные под углом, отличным от угла падения. Это объясняется
возникновением в составе отраженного света излучения удвоенной частоты
(так называемая вторая гармоника), направление Офажеиия которого не
совпадает с направлением, определяемым законом отражения.
другой - перпендикулярно этой плоскости:
еп=ёпр+ё:,
?о1р=я;;р+?°тр, (зп)
?"!'=- Ёрр + ёгр, ¦
X
Рис. 3.3
где индексы pus относятся соответственно к компонентам, лежащим в
плоскости падения и перпендикулярным ей. Это равносильно тому, что'задачу
(случай, когда падающий свет естественный) сводим к двум задачам: 1)
электрический вектор лежит в плоскости падения;
(3.12)
48
выбраны соответственно направление стрелки на рисунке для р и направление
от наблюдателя за чертеж для s компонентов. Это означает, что компоненты
Е", ?°тр и Е"р совпадают по фазе, если они имеют одинаковые знаки, и
противоположны по фазе, если знаки различны. То же самое относится и к
компонентам Епр и ЕпрР. Однако для Епр и Е°у имеет место обратное, т. е.
они совпадают по фазе в том случае, если их знаки различны, и
противоположны по фазе, если знаки их одинаковы.
Чтобы определить отношение амплитуд падающей и отраженной йолн, напишем
граничные условия (3.2) и (3.3): Епх + ?"тр = ??р;
?"+?уотр==?Г; щ+ну=нпур.
Следовательно,
(Ер - ?рТр) cos ф = Е(tm) cos ф,
Рп л_ F0Tp - Fnp E*s "1" t-s - >
Уej (Еь - Е°тр) cos ф = Уе2 Esp со§ ф,
У71(Е* + Еу) = Уг1Е7.
Амплитуды падающей волны Епр и Ens считаются заданными. Решая систему
уравнений (3.13) относительно четырех неизвестных ?"тр, ?orPj щР> Епр}
