Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
2. Оценка, даваемая неравенством (8), становится значительно более точной, когда вероятность р очень мала или, напротив, очень близка к единице.
$ 17] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЕРНУЛЛИ
71
Так, если в только что приведенном примере вероятность того, что изделие обладает некоторым свойством, равна р = 0,95, то
1 —р = 0,05, р(1— р)<0,05.
Поэтому, выбирая е = 0,005, п = 200 000, находим:
Р (I — р) ^ 0,05 • 1 000 000 „ „.
Рл < 25-200 000 _и'и1’
ьак и прежде. Но теперь е/г равно не 2000, а только 1000; отсюда (так как пр = 190 000) заключаем, что с практической достоверностью число изделий, обладающих рассматриваемым свойством, при общем числе 200 000 изделий окажется заключенным между •89 000 и 191 000.
Таким образом, при р = 0,95 неравенство (8) практически гарантирует, что для ожидаемого числа изделий с интересующим нас свойством промежуток имеет вдвое меньшую длину, чем при р = 0,75, ибо
Р(|6— 190000|>1000) <0,01.
Задача. Известно, что одна четвертая часть рабочих некоторой отрасли промышленности имеет среднее образование. Для некоторого обследования наудачу выбрано 200000 рабочих. Нарти 1) наивероятнейшее значение числа рабочих со средним образованием среди выбранных 200 000 и 2) вероятность того, что истинное (фактическое) число таких рабочих отклонится от наивероятнейшего не более чем на 1,6%.
При решении задачи мы исходим из того факта, что вероятность иметь среднее образование равна од-*ной четверти для каждого из наудачу выбираемых 200 000 рабочих (в этом и заключается смысл слова «наудачу»). Таким образом,
п = 200 000 Р = = пР = 50 000; р(1—Р) = -у|-*
«Надо найти вероятность того, что \k — пр j < 0,016 пр
72
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
[ГЛ 6
или \k—прj < 800, где k — число рабочих со средним образованием.
Выбираем е так, чтобы иметь еп = 800; отсюда получаем: е = ~- = 0,004. Формула (8) дает:
Р (| k — 50 000 | > 800) < 16. ,000013-200 000 ~ откуда
Р (| k - 50 000 | < 800) > 0,94.
Ответ. Искомое наивероятнейшее значение равно 50 000, искомая вероятность больше чем 0,94.
> На самом деле искомая вероятность значительно ближе к единице.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ГЛАВА СЕДЬМАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 18. Понятие случайной величины
Во всем предыдущем мы много раз уже встречались с такими величинами, численное значение которых не может быть раз навсегда определено, а меняется под влиянием случайных воздействии. Так,’ число мальчиков на сотню новорожденных не будет для псех сотен одним и тем же. Или длина волокон хюпка определенного сорта меняется весьма сильно не толь-ьо для различных районов, где этот сорт возделывается, но даже для одного куста и одной коробочки.
Приведем еще несколько примеров величин такого рода.
1) Стреляя из одного и того же орудия на одном н том же прицеле и при неизменных условиях, мы тем не менее наблюдаем, что снаряды ложатся в разных местах; это явление называют «•рассеиванием» снарядов. Расстояние места падения снаряда от места его вылета есть величина, при различных выстрелах получающая, в зависимости от не поддающихся .предварительному учету случайных обстоятельств, различные численные значения.
2) Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется от столкновений с другими молекулами. Ввиду того что каждая молекула может либо столкнуться, либо не столкнуться с каждой другой молекулой газа, изменение ее скорости носит чисто случайный характер.
74 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ [ГЛ. 7
3) Число метеоритов, падающих на землю в течение года, достигающих ее поверхности, не постоянно, а подвержено значительным колебаниям в зависимости от целого ряда обстоятельств случайного характера.
4) Вес зерен пшеницы, выращенных на некотором участке не равен некоторой определенной величине, а меняется от одного зерна к другому. В силу невозможности учесть влияние всех факторов (качество участка почвы, на котором вырос колос с данным зерном, условия освещения зерна, водный режим и пр.), определяющих рост зерна, его вес является величиной, меняющейся в зависимости от случая.
Несмотря на всю разнородность рассмотренных примеров, все они с интересующей нас теперь точки зрения представляют собой одну и ту же картину. В каждом из этих примеров мы имеем дело с величиной, так или иначе характеризующей собой результат предпринятой операции (например, счета метеоритов, измерения длин волокон); каждая из этих величин при различных операциях, какими бы однородными мы ни старались сделать условия их осуществления, может принимать различные значения, в зависимости от ускользающих от нашего контроля случайных различий в обстановке этих операций. Такого рода величины мы называем в теории вероятностей случайными величинами; приведенных нами примеров уже достаточно, чтобы убедить нас, сколь важным может быть изучение случайных величин для приложений теории вероятностей к самым разнообразным областям знания и практики.
