Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Условимся далее схемой ААВ обозначать сложное событие: два первых выбранных волокна оказались короче 45 мм, а третье длиннее 45 мм Ясно, какое значение будут иметь схемы ВВА, АВА и т. п. Наша задача состоит в вычислении вероятности события»С, состоящего в том, что из трех волокон два окажутся короче 45 мм, а одно длиннее 45 мм. Очевидно, для этого должна осуществиться одна из следующих схем: ААВ, ABA, BAA. (1)
Так как любые два из этих трех результатов несовместимы между собой, то по правилу сложения P (С) = Р (ААВ) + Р (ABA) + Р (В А А).
Все три слагаемых правой части равны между собой, так как результаты выбора волокон мы можем
4 Б. В. Гнеденко, А. Я. Хинчин
БО
СХЕМА БЕРНУЛЛИ
[ГЛ. 5
считать взаимно независимыми событиями. Вероятность каждой из схем (1) по правилу умножения вероятностей для независимых событий представится как произведение трех множителей, из которых два равны Р (Л) = 3/4, а один— Р (В) = 1/4. Таким образом, вероятность каждой из трех схем (1) равна
что и решает поставленную задачу.
Пр и м е р 2. В результате наблюдений, продолжавшихся многие десятки лет, найдено, 'Гто из каждой тысячи новорожденных в среднем рождается 515 мальчиков и 485 девочек. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.
Для наступления события, вероятность которого мы ищем, надо, чтобы в семье было либо 0, либо 1, либо 2 девочки. Вероятности этих частных событий мы обозначим соответственно через Ро, Ри Pi- Очевидно, что по правилу сложения вероятностей искомая вероятность
Для каждого ребенка вероятность того, что это мальчик, равна 0,515 и, значит, вероятность того, что это девочка, равна 0,485.
Проще.всего найти Р0\ это — вероятность того, что все дети в семье оказались мальчиками. Так как событие — рождение ребенка того или другого пола — мы можем рассматривать как независимое от рождения остальных детей, то. по правилу умножения вероятность того, что все шесть детей окажутся мальчиками, равна произведению шести множителей, равных
1\2 1 9
4) ' 4 ~ 64 ’
и следовательно,
Р = Р0 + Р,+Рг.
(2)
0,515, т. е.
Р0 = (0.515)6 я* 0,018.
ПРИМЕРЫ
Б1
Перейдем теперь к вычислению Р\, т. е. вероятности того, что среди шести детей в семье один ребенок окажется девочкой, а остальные пять — мальчиками. Это событие может произойти шестью различными способами, смотря по тому, которым ребенком по порядку рождений окажется девочка (первым, вторым и т. д.). Рассмотрим какую-нибудь из разновидностей нашего события, например ту, что девочка родилась четвертым ребенком. Вероятность этой разновидности по правилу умножения равна произведению шести множителей, из которых пять равны 0,515, а шестой (стоящий на четвертом месте) равен 0,485, т. е. эта вероятность равна (0,515)5 • 0,485. Такова же вероятность и всякой другой из пяти возможных разновидностей интересующего нас события; поэтому вероятность Pi этого события по.правилу сложения равна сумме шести чисел, равных (0,515)5 • 0,485, т. е.
Я, = 6 • (0.515)5 ¦ 0,485 ~ 0,105.
Обращаемся теперь к вычислению Р'% (вероятность того, что Два ребенка окажутся девочками, а четыре —> мальчиками). Подобно предыдущему, мы сразу замечаем, что событие это допускает целый ряд разновидностей (одной из разновидностей будет, например, такая: второй и пятый ребенок по порядку рождений оказались девочками, а остальные — мальчиками). Вероятность каждой разновидности по правилу умножения равна (0,515)4 • (0,485)2, а следовательно, Р2 по правилу сложения равно числу (0,515)4 • (0,485)2, умноженному на число всех разновидностей рассматриваемого типа; к определению этого последнего числа и сводится, таким образом, вся задача.
Каждая разновидность характеризуется тем, что из шести детей двое оказываются девочками, а остальные— мальчиками; число различных разновидностей равно, следовательно, числу различных способов выбора двух детей.из шести имеющихся. Число таких выборов равно числу сочетаний из шести предметов по два, т. е.
С2 - § ' § _ 1К
6 ~ 2-1
4*
52
СХЕМА БЕРНУЛЛИ
[ГЛ 5
Таким образом,
Р2 = Се • (0,515/ • (0.485)2 = 15 • (0,515/ • (0,485)2 «0,247.
Сопоставляя полученные результаты, находим:
Р = Р0 + Pj + Р2 *» 0,018 + 0,105 + 0,247 = 0,370.
Таким образом, немного реже, чем в четырех случаях из десяти (с вероятностью Р ^ 0,37), в таких многодетных семьях будет не более трети депочек и, значит, не менее двух третей мальчиков
§ 14. Формулы Бернулли
В предыдущем параграфе мы познакомились на ряде примеров со схемой повторения испытаний, в каждом из которых может осуществляться некоторое событие А. В слово «испытание» вкладывается весьма богатый и разнообразный смысл. Так, если производят стрельбу по некоторой цели, то под испытанием разумеют каждый отдельный выстрел. Если испытывают электрические лампочки на длительность горения, то иод испытанием понимают испытание каждой лампочки Если изучают состав новорожденных по полу, весу или росту, то под испытанием понимают обследование отдельного младенца Вообще под испытанием мы будем понимать в дальнейшем осуществление некоторых условий, при наличии которых может наступить некоторое интересующее нас событие
