Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Элементарное введение в теорию вероятностей" -> 21

Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей — Наука, 1970. — 169 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnoevvedeievteoriuveroyatnostey1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 53 >> Следующая


Прежде всего мы легко находим:

П

'L(k-np)2 Pn(k) =

= k2pn (k) - 2np 2 kPn (k) -f n2p2 2] Pn (k). (4)

k=0 k=0

Из трех сумм правой части последнйя равна единице, как сумма вероятностей полной системы событий. Значит, нам остается только вычислить суммы

S kPn {k) и 2 k2Pn (?); k=0 k—0

при этоМ в обеих суммах члены, соответствующие k = 0, равны нулю, так что можно начинать суммирование с k = 1, в

5*
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ

[ГЛ. 6

1) Для вычисления обеих сумм выразим Pn(k) по формуле (4) главы 5 (стр. 54). Имеем

к

2 kPn 0k) = V Рк (1 - р)п k;

ft-i

так как, очевидно, п\ = п(п—1)! и k' = [k—/)!, то получаем:

П

*=1

= „р V _____________Ч1____________ о*-» п _

пР ЛЛ (k- 1)1 [(/;- 1 > — (/е — 1)]! Р 11 Р)

k=\

или, полагая в сумме правой части k— 1 = / и замечая, что I изменяется от 0 до и — 1 при изменении к

от 1 до «,

П п~\

V , п ИЛ V (к—IV //. \n-l-l

^/?Р„ (/?) = Zip 7ц—пгтуг Р (1 - р)

*= Г - /=0

п-1

= Пр^Рп-i (/).

/=О

rz —I

Последняя сумма Pn-i(l), разумеется, равна еди-

1=И

нице, ибо эта есть сумма вероятностей потной системы событий — всевозможных чисел I появлений события при п—1 испытаниях. Таким образом, для суммы

П

Ъ кРп (к) получили чрезвычайно простое выражение: У кРп(к) = пр. (5)

2) Для вычисления второй суммы найдем сначала

п

ветичину /г {k — 1) Рп (&)'. так как член, соответст-

А = 1

сующий к = 1, очевидно, равен нулю, то с> ммирование
‘доказательство ТЕОРЕМЫ БЕРНУЛЛИ

69

можно начать со значения k = 2. Замечая, что гс! = = п(п— 1) (п — 2)! и что ft! = ft(ft — 1) (ft — 2)!, мы легко заключаем, полагая подобно предыдущему ft — 2 =¦ т:

tl tl

Vft(ft-1 )РП (k) = Vk{k-i)Pa(k) =

k=\ k=2

tl

k(k—\) n! к,n-k

= L-knn-k)rP v-p) =

fc=2

= n(n— П D2 V ___________________________ у

k=2

.. k-2/, .m-2)-(4~2>

Xp (1-p) =

n —2

/ ,ч 9 (rt—2)! m/i v/i—2—ш

= /l(n-l)p- 2, P (l~P)

m—0 n—2

— n(ii 1) p2 ^ P„_2 (m) = n (n1) p2, (6)

m—0

ибо последняя сумма снова равна единице, как сумма вероятностей некоторой полной системы событий — всевозможных чисел появлений события при п — 2 испытаниях

Наконец, формулы (5) и (б) дают:

2 &ра (ft) - i ft (ft -1) pn (/?) + ? ftp„ (ft)= fc=i *=1 6=1

= n{n—l) p2 + np = trp2 + np(\ — p). (7)

Теперь обе нужные нам суммы вычислены. Вставляя

результаты (5) и (7) в соотношение (4), окончательно находим: tl

2 (6 — «рУ2 Pn (ft) = nJp~ + пр (1 — р) — 2 пр • пр + пр- =

л-и

= кр(1 -р);
70 ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ 1ГЛ в

вставляя же полученное чрезвычайно простое выражение в неравенство (3), получаем:

P(|t-»p|>e«)<^|^—(8)

Это неравенство доказывает все необходимое. В самом деле, число е можно взять, правда, как угодно малым, но, выбрав, мы уже больше его не меняем; число же испытаний п, по смыслу нашего утверждения, может

быть как угодно большим; поэтому дробь - ^ р- можно предположить как угодно малой, так как с возрастанием п знаменатель ее может быть как угодно большим, а числитель при этом не меняется.

Пусть, например, р — 0,75, так что 1 — р = 0,25, и

р{\ -р) = 0,1875 <0,2; выберем е = 0,01; тогда неравенство (8) дает d (\, 3 К I \ . 0,2 _ 2000

\ I 4 n I 100 / 0,0001 /1 п ‘

Если, например, п = 200 000, то

Р (| k - 150 0001 > 2000) < 0,01.

Практически это означает, например, следующее: если на некотором производстве при установившемся технологическом процессе в среднем 75% изделий обладают некоторым свойством (например, принадлежат к 1-му сорту), то из 200 000 изделий с вероятностью, превышающей 0,99 (т. е. практически почти достоверно), этим свойством будут обладать от 148 000 до 152 000 изделий.

К этому необходимо сделать два замечания:

1. Неравенство (8) дает весьма грубую оценку

для вероятности Р (1 /г—пр\ > ); на самом деле

эта вероятность, особенно при больших значениях п, значительно меньше; на практике пользуются поэтому более точными оценками, обоснование которых, однако, значительно сложнее.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed