Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде всего мы легко находим:
П
'L(k-np)2 Pn(k) =
= k2pn (k) - 2np 2 kPn (k) -f n2p2 2] Pn (k). (4)
k=0 k=0
Из трех сумм правой части последнйя равна единице, как сумма вероятностей полной системы событий. Значит, нам остается только вычислить суммы
S kPn {k) и 2 k2Pn (?); k=0 k—0
при этоМ в обеих суммах члены, соответствующие k = 0, равны нулю, так что можно начинать суммирование с k = 1, в
5*
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
[ГЛ. 6
1) Для вычисления обеих сумм выразим Pn(k) по формуле (4) главы 5 (стр. 54). Имеем
к
2 kPn 0k) = V Рк (1 - р)п k;
ft-i
так как, очевидно, п\ = п(п—1)! и k' = [k—/)!, то получаем:
П
*=1
= „р V _____________Ч1____________ о*-» п _
пР ЛЛ (k- 1)1 [(/;- 1 > — (/е — 1)]! Р 11 Р)
k=\
или, полагая в сумме правой части k— 1 = / и замечая, что I изменяется от 0 до и — 1 при изменении к
от 1 до «,
П п~\
V , п ИЛ V (к—IV //. \n-l-l
^/?Р„ (/?) = Zip 7ц—пгтуг Р (1 - р)
*= Г - /=0
п-1
= Пр^Рп-i (/).
/=О
rz —I
Последняя сумма Pn-i(l), разумеется, равна еди-
1=И
нице, ибо эта есть сумма вероятностей потной системы событий — всевозможных чисел I появлений события при п—1 испытаниях. Таким образом, для суммы
П
Ъ кРп (к) получили чрезвычайно простое выражение: У кРп(к) = пр. (5)
2) Для вычисления второй суммы найдем сначала
п
ветичину /г {k — 1) Рп (&)'. так как член, соответст-
А = 1
сующий к = 1, очевидно, равен нулю, то с> ммирование
‘доказательство ТЕОРЕМЫ БЕРНУЛЛИ
69
можно начать со значения k = 2. Замечая, что гс! = = п(п— 1) (п — 2)! и что ft! = ft(ft — 1) (ft — 2)!, мы легко заключаем, полагая подобно предыдущему ft — 2 =¦ т:
tl tl
Vft(ft-1 )РП (k) = Vk{k-i)Pa(k) =
k=\ k=2
tl
k(k—\) n! к,n-k
= L-knn-k)rP v-p) =
fc=2
= n(n— П D2 V ___________________________ у
k=2
.. k-2/, .m-2)-(4~2>
Xp (1-p) =
n —2
/ ,ч 9 (rt—2)! m/i v/i—2—ш
= /l(n-l)p- 2, P (l~P)
m—0 n—2
— n(ii 1) p2 ^ P„_2 (m) = n (n1) p2, (6)
m—0
ибо последняя сумма снова равна единице, как сумма вероятностей некоторой полной системы событий — всевозможных чисел появлений события при п — 2 испытаниях
Наконец, формулы (5) и (б) дают:
2 &ра (ft) - i ft (ft -1) pn (/?) + ? ftp„ (ft)= fc=i *=1 6=1
= n{n—l) p2 + np = trp2 + np(\ — p). (7)
Теперь обе нужные нам суммы вычислены. Вставляя
результаты (5) и (7) в соотношение (4), окончательно находим: tl
2 (6 — «рУ2 Pn (ft) = nJp~ + пр (1 — р) — 2 пр • пр + пр- =
л-и
= кр(1 -р);
70 ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ 1ГЛ в
вставляя же полученное чрезвычайно простое выражение в неравенство (3), получаем:
P(|t-»p|>e«)<^|^—(8)
Это неравенство доказывает все необходимое. В самом деле, число е можно взять, правда, как угодно малым, но, выбрав, мы уже больше его не меняем; число же испытаний п, по смыслу нашего утверждения, может
быть как угодно большим; поэтому дробь - ^ р- можно предположить как угодно малой, так как с возрастанием п знаменатель ее может быть как угодно большим, а числитель при этом не меняется.
Пусть, например, р — 0,75, так что 1 — р = 0,25, и
р{\ -р) = 0,1875 <0,2; выберем е = 0,01; тогда неравенство (8) дает d (\, 3 К I \ . 0,2 _ 2000
\ I 4 n I 100 / 0,0001 /1 п ‘
Если, например, п = 200 000, то
Р (| k - 150 0001 > 2000) < 0,01.
Практически это означает, например, следующее: если на некотором производстве при установившемся технологическом процессе в среднем 75% изделий обладают некоторым свойством (например, принадлежат к 1-му сорту), то из 200 000 изделий с вероятностью, превышающей 0,99 (т. е. практически почти достоверно), этим свойством будут обладать от 148 000 до 152 000 изделий.
К этому необходимо сделать два замечания:
1. Неравенство (8) дает весьма грубую оценку
для вероятности Р (1 /г—пр\ > ); на самом деле
эта вероятность, особенно при больших значениях п, значительно меньше; на практике пользуются поэтому более точными оценками, обоснование которых, однако, значительно сложнее.