Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Элементарное введение в теорию вероятностей" -> 20

Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей — Наука, 1970. — 169 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnoevvedeievteoriuveroyatnostey1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 53 >> Следующая


\
64

ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ

[ГЛ. 6

диться большая вероятность, чем на любой другой участок той же длины.

Но оказь^ается, что в этом направлении можно высказать гораздо больше. Всех возможных значений числа k появлений события при п испытаниях имеется п + 1 (0 *Ck^ri).

Возьмем участок, имеющий середину в k0 и заключающий в себе только малую долю, например одну

Рис. 6.

сотую, возможных значений числа k\ тогда оказывается, что если общее число испытаний п очень большое, то на этот участок приходится подавляющая вероятность, а все другие вместе взятые значения числа k имеют вероятность ничтожно малую. Таким образом, хотя выбранный нами участок и ничтожно мал по сравнению с п (на чертеже он займет всего одну сотую долю всей длины диаграммы), но тем не менее сумма расположенных над йим вертикальных черточек будет значительно больше, чем сумма всех остальных вертикальных черточек. Причина этого в том, что черточки центральной части диаграммы во много раз , крупнее черточек, располагающихся по краям. Таким образом, для больших ti диаграмма величины Pn(k) имеет вид, примерно изображенный на рис. 6.

Практически все это, очевидно, означает следующее: если мы производим серию из большого числа п испытаний, то с вероятностью, близкой к единице мы можем ожидать, что число k появлений события А бу-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЕРНУЛЛИ

65

дет очень близко к своему наивероятнейшему значению, отличаясь ог него лишь на незначительную долю общего числа, п произведенных испытаний.

Это предложение, известное под именем теоремы Бернулли и открытое в начале восемнадцатого столетия, представляет собой один из важнейших законов теории вероятностей: до середины прошлого столетня все доказательства этой теоремы требовали сложных математических средств, и только великий русский математик П. Л. Чебышев впервые нашел очень простое и краткое обоснование этого закона; замечательное доказательство Чебышева мы теперь и приведем.

§ 17. Доказательство теоремы Бернулли

Мы уже знаем, что при большом числе испытаний п наивероятнейшее число k0 появлений события А почти не отличается от величины пр, где р, как всегда,

Рис. 7.

означает вероятность события А для отдельного испытания. Поэтому нам достаточно доказать, что при большом числе испытаний число k появлений события А будет с подавляющей вероятностью отличаться от пр весьма мало — не более чем на сколь угодно малую долю числа п (не более чем, например? на

0,01 п или 0,001 п, или вообще не более чем на е/г, где е — как угодно малое число); иначе говоря, мы

5 Б. В. Гнеденко, А. Я. Хиичин
66

ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ

[ГЛ. 5

должны показать, что вероятность

Р (| k — пр | > еп)



для достаточно больших п будет как угодно малой.

Чтобы в этом убедиться, заметим, что по правилу сложения вероятность (1) равна сумме вероятностей Рп(к) для всех тех значений числа к, которые отстоят от пр больше чем на еп; на нашей обычной диаграмме (рис. 7) эта сумма изображается суммою длин всех вертикальных черточек, лежащих вне отрезка АВ, как вправо, так и влево от него. Так как общая сумма всех вертикальных черточек (как сумма вероятностей полной системы событий) равна единице, то это значит, что подавляющая, почти равная единице часть этой суммы приходится на долю отрезка АВ и лишь ничтожно малая часть ее — па области, лежащие вне этого отрезка.

Обращаемся теперь к рассуждению Чебышева. Так как в каждом члене написанной суммы

а значит, и

то мы можем только увеличить эту сумму, если каж' дый ее член Рп(к) заменим выражением

Итак,

P(\k-np\>en) = 2 Рп(к). (2)

I к—пр | > ел

поэтому

P{\k-np\>en).< 2] (—-Е"-)2Рп №)

? {к — пр)2 Рп (к);

Ik—пр\ > ЕП

далее, очевидно, что последнюю сумму мы увеличим еще больше, если в дополнение к уже имеющимся в
? 17]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЕРНУЛЛИ

67

ней слагаемым добавим еще новые, заставляя число k пробегать не только участки до пр— еп и от np+Eti, но и весь ряд возможных для него значений, т. е. .весь ряд чисел от 0 до п включительно; мы получаем таким образом, что и подавно

П

P(\k-np\>Eti)< ^ (k - пр)2 Рп (/г). (3)

о

Последняя сумма выгодно отличается от всех предыдущих тем, что ее можно в точности вычислить; метод Чебышева и заключается в замене трудно оцениваемой суммы (2) суммой (3), допускающей точное вычисление.

Мы приступаем теперь к этому вычислению; как бы длинным оно н-ам ни показалось, это уже — трудности технического порядка, с которыми справится всякий, кто знает алгебру; замечательная же идея Чебышева нами уже вполне использована, ибо она состоит именно в переходе от равенства (2) к неравенству (3).
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed