Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
0 м имеет вероятность 0,42
± 10 м » » 0,16*)
± 20 м » » 0,08
± 30 м » » 0,05
Найти среднее значение площади площадки.
В зависимости от случайностей аэрофотометриче-ского измерения сторона площадки есть случайная
*) Это понимается так, что ошибка +10 м и ошибка —10 м. имеют вероятности по 0,16 каждая, так же следует понимать и далее указанные вероятности.
88
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
[ГЛ 8
величина, закон распределения которой дается таблицей
320 330 340 350 360 370 380
0,05 0,08 0,16 0,42 0,16 0,03 0,05
Отсюда мы сразу могли бы найти среднее значение этой величины; в данном случае нам нет даже надобности применять для этого наше вычислительное правило; в самом деле, так как одинаковые ошибки в ту и другую сторону одинаково вероятны, то уже по симметрии ясно, что среднее значение стороны квадрата равно наблюденному значению, т. е. 350 м\ более подробно: выражение среднего значения будет содержать члены
(340 + 360) • 0,16 = [(350 + 10) + (350 - 10)] • 0J6 =
= 2-350-0,16,
(330 + 370) • 0,08 = 2 • 350 • 0,08,
(320 + 380) • 0,05 = 2 • 350 • 0.05;
оно равно поэтому
350 • (0,42 + 2 • 0,16 + 2 • 0,08 + 2 • 0,05) = 350.
Можно было .бы думать, что из тех же соображений симметрии среднее значение площади квадрата должно равняться 3502 = 122 500 лг2; это было бы так, если бы среднее значение квадрата случайной величины равнялось квадрату ее среднего значения, однако это не так; в нашем примере площадь квадрата может иметь значения
3202, 3302, 3402, 3502, 3602, 3702, 3802;
какое из этих значений имеет место в действительности— это зависит от того, какой из семи представленных в таблице (I) случаев имеется налицо, так что вероятности этих семи значений те же, что и вероят-
§20) СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
89
пости таблицы (D; короче говоря, закон распределения площади квадрата дается таблицей
3202 3302 3402 3502 3602 3702 3802
0.05 0,08 0,16 0,42 0,16 0,08 0,05
и, следовательно, среднее значение ее равно 320* • 0,05 + 3302 • 0,08 + 3402 ¦ 0,16 + 3502 • 0,42 +
+ 3602 • 0,16 + 3702 • 0,08 + 3802 • 0,05.
И здесь полезно для сокращения вычислений воспользоваться имеющейся симметрией; стоит посмотреть, как это делается, ибо подобные возможности упрощения возникают довольно часто. Мы можем переписать написанное выражение в виде
3502 • 0,42 + (3402 + 3602) • 0,16 + (3302 + 3702) • 0,08 +
+ (3202 + 3802) • 0,05 = = 3502 • 0,42 + [(350 - 10)2 + (350 + 10)2] • 0,16 +
+ [(350 - 20)2 + (350 + 20)2] • 0,08 +
+ [(350 - 30)2 + (350 + 30)2] • 0,05 = = 3502 [0,42 + 2 • 0,16 + 2 • 0,08 + 2 • 0,05] +
+ 2 • 102 • 0,16 + 2 • 202 • 0,08 + 2 ¦ 302 • 0,05 = = 3502 + 2 • (16 + 32 + 45) = 122 686.
При этом способе вычисления все расчеты могут быть проведены в уме.
Мы видим, что среднее значение плошади квадрата оказалось несколько.больше (практически, правда, различие в этом случае неощутимо), чем квадрат среднего значения стороны (т. е. 3502 = 122 500); легко доказать, что в основе этого лежит общее правило: среднее значение квадрата любой случайной величины всегда больше, чем квадрат ее среднего значения. В самом деле, пусть мы имеем случайную величину к с совершенно произвольным законом распределения
*1 ДС2 --- Х/г
Pi Pi ... Рк
90 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ [ГЛ. 8
тогда величина х2 будет иметь закон распределения
*1 4 ... 4
Pi Р2 Рк
средние значения этих двух величин соответственно равны
X = х,р, + Х,р2 + • • • + Хкрк
И
X2 = x2Pl + х\рг + ... + x\pk.
Мы имеем:
х2 — (х)2 = х2 — 2 (х)2 + (х)2;
так как pi +' р2 + ... +pk = 1, то три члена правой части могут быть соответственно представлены в виде
*2 = -2 x\Pi,
k
2 (xf = 2 (х) (x) = 2x 2 xiPi = 2 2*л:гр;,
/=1 i—l
(*)2 = (*)2ipt==J](*)2/v.
i=I . i —I
поэтому
x2 - (xf = S {*2 - 2^ + (x)2} pt = S (vi - *)2 Pi -
так как все члены суммы, стоящей в правой части, неотрицательны, то
х2 — (х)2 > 0, что и требовалось доказать.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
§ 21. Теорема о среднем значении суммы
Очень часто встречается необходимость вычислить среднее значение суммы двух (а иногда и большего числа) случайных величин, средние значения которых известны. Пусть, например, два предприятия изготовляют одинаковую продукцию, причем известно, что в среднем первое предприятие ежедневно производит 120 изделии* а второе—180; можем ли мы при помощи этих данных установить среднее значение числа изделий, которое следует ожидать ежедневно от обоих предприятии вместе? Или этих данных недостаточно, и мы, кроме Средних значений, должны знать еще что-либо о двух рассматриваемых случайных величинах (например, знать полностью их законы распределения) ?
