Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Приступим теперь к рассмотрению одной из главных схем теории вероятностен, имеющей, помимо прикладного значения в разнообразных областях знания, большое значение и в самой теории вероятностей, как математической науке. Эта схема состоит в том, что рассматривается последовательность взаимно независимых испытаний, т е. таких испытаний, что вероятность того или иного результата в каждом из них не зависит от того, какие результаты' наступили или на* ступят в остальных. В каждом из этих испытаний может наступить (или не наступить) некоторое событие А с вероятностью р, не зависящей от номера испы-
»
ФОРМУЛЫ БЕРНУЛЛИ
53
тания. Описанная схема получила название схемы Бернулли: ее изучение ведет свое начало от известного швейцарского ученого Якова Бернулли, жившего в конце XVII века.
Мы уже имели дело со схемой Бернулли на примерах; чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить примеры предыдущего параграфа. Теперь же мы решим следующую общую задачу, частными случаями которой были все примеры, рассмотренные нами до сих пор в этой главе.
Задача. При некоторых условиях вероятность появления события А в каждом испытании равна р; найти вероятность того, что серия из п независимых испытании даст k появлений и п — k непоявлений события А.
Событие, вероятность которого надо найти, распадается на ряд разновидностей; для получения одной определенной разновидности мы должны произвольным образом выбрать из данной серии какие-нибудь k испытаний и допустить, что именно при этих ft испытаниях произошло событие А, а при остальных п—ft оно не произошло. Таким образом, каждая такая разновидность .требует наступления п определенных результатов, в том числе ft появлений и п — ft непоявлений события Л; мы получаем по правилу умножения, что вероятность каждой определенной разновидности равна
ph (I - р)п~к;
число различных возможных разновидностей равно числу различных групп по k испытаний в каждой, которые можно составить из п испытаний, т. е. равно Сп
Применяя правило сложения и известную формулу для числа сочетаний
rk _ п (п — 1) ... (п — (/г — П )
Сп k (k- I) ... 2- 1
мы находим, что искомая вероятность ft появлений события А при п независимых испытаниях равна
и /1.\ «(я И (л (& 1)) „fe/t fe
Л,(ft)------Г(к=Т) ГгЛ---------PV-P) • (3)
54
СХЕМА БЕРНУЛЛИ
[ГЛ. 5
что и решает поставленную задачу. Часто бывает более удобно представлять выражение в несколько ином виде; умножая числитель и знаменатель на произведение (п — к) (п—(k + 1)) ...2*1, мы получаем:
pk ______________п (п — 1) ... 2-1__________
н~ k(k-l) ... 2 • I • (л — ?) (и — (fe + 1)) ••• 2-1 ’
или, обозначая для краткости через т\ произведение всех целых чисел от 1 до т включительно,
Формулы (3) и (4) обычно называют формулами Бер~ нулл-и. При больших значениях п и к вычисление Рп (к) по этим формулам затруднительно, так как факториалы и!, к\, (п — к)\ — очень большие и громоздко вычисляемые числа. Поэтому при вычислениях этого рода широко пользуются как специально составленными для факториалов таблицами, так и некоторыми приближенными формулами.
Пример. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не больше определенного числа литров в сутки), равна 3/4. Найти вероятности того, что в ближайшие 6 дней расход воды будет нормальным в течение 1, 2, 3, 4, 5, 6 дней.
Обозначив через Ре (к) вероятность того, что в течение к дней из шести расход воды будет нормальным, найдем по формуле (3) (где надо положить
rk _ «!
" k\ (n-k)\ ’
для Рп (k) это дает:
(4)
Р = 3/4)
а>(4) = сЩ)4.(!)2=с!
,2 З4 - 6-5 З4 15 -З4 6 4“ — 2 • 1 " 4б 46 '
§ 15) НАИВЕРОЯТНЕПШЕЕ ЧНСЛО НАСТУПЛЕНИИ СОБЫТИЯ 55
6-5-4 З3 20 • З3 3-2 - 1 ‘ 46 ~ 46 »
15 -З2
_ 46 >
6-3 4е ;
наконец, очевидно, Р6 (0) (вероятность каждый день из 6 иметь перерасход) составляет 1/46. Все шесть вероятностей выражаются дробями с одним и тем же знаменателем 46 = 4096 этим мы, конечно, пользуемся для сокращения расчетов. Вычисления дают:
Мы видим, что наиболее вероятен перерасход воды в течение одного или двух дней из шести и что вероятность перерасхода в течение пяти или шести дней [Рб(1) + Р6(0)] практически равна нулю.
§ 15. Наивероятнейшее число наступлений события
При мер, который мы только что рассмотрели, показывает, что вероятность нормального расхода воды в течение ровно к дней с ростом числа k сначала возрастает, а затем, достигнув своего наибольшего значения, начинает убывать; яснее всего это видно, если изменение вероятности Р&{к) с ростом- числаkизобразить геометрически, в виде диаграммы, изображенной на рис. 4.
Еще более яркую картину дают диаграммы изменения величины Рп (к) с ростом к, когда число п становится больше; так, при п = 15 и р = 1/2 диаграмма имеет вид, изображеный на рис. 5.
