Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для практики иногда требуется знать, какое число наступлений события является наивероятнейшим, т. е. при каком числе к вероятность Рп (к) наибольшая (при этом, конечно, р и п предполагаются заданными).
Формулы Бернулли позволяют во всех случаях найти простое решение поставленного вопроса; этим мы теперь и займемся.
Р6(6)«0,18; Р6(5)~0,36; Р6(4)~0,30;
Р6(3)~0,13; Р6(2)~0,03; Р6(1) ~ Р6(0) ~ 0.
56
СХЕМА БЕРНУЛЛИ
[ГЛ 5
и Pn(k+ 1)
Вычислим сначала величину отношения —~р~щ—'
В силу формулы (4),
Р^ + 1)-(Г+Р™<\-рГк-\ (5)
а из формул (3) и (5) получаем:
Pn(k+ 1) = n\k\ (n-k)! pk+l (1 -p)n~k-1 = »-fe p
/>„(*) (ft+ I)' (n-A-l)ln! pk(\-p)n~k ~ k+ I \-p '
Вероятность Рп(к + 1) будет больше, равна или меньше вероятности Pn(k), смотря по тому, будет ли от-
Рп {k + 1) -
ношение —р~Щ— больше, равно или меньше единицы, а это, как мы видим, сводится к вопросу о том, какое из трех соотношений
n-k р . n-k р . n-k р . ife+1 1 -р ^ ’ k+l ’ 1 -р ?+1 ’ 1 -р { >
окажется верным. Если мы, например, хотим выяснить, при каких значениях к выполняется Pn(k+ 1) >
> Р„ (к), то для этого нужно узнать, при каких значениях k имеет место неравенство
-Jили (n-k)p>(k+ 1)(1 -р).
4
откуда получаем:
пр — { 1 — p)>k\
таким образом, покуда к, возрастая, не достигнет величины пр—мы будем все время иметь Рп{к + 1) > Рп(к), т. е. с ростом числа k вероятность Рп (к) будет все время возрастать. Так, например, в схеме, которой соответствует диаграмма на рис. 5, р = 1/2, п = 15, пр — (1 —р) = 7; значит покуда k < 7, т. е. для всех к, от 0 до 6 включительно, мы имеем Pn(k + 1) > Рп(к). Это и подтверждает диаграмма.
Совершенно подобным же образом, исходя из двух других соотношений (6), мы находим, что
Pn{k+ 1) = Рп (к), если k = пр - (1 - р), Pn{k+l)<Pn{k), если k>np-{l-p);
15] НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО НАСТУПЛЕНИЯ СОБЫТИЯ 57
таким образом, как только число k, возрастая, перешагнет через грань пр—(1—р), так вероятность Pn(k) начнет убывать и будет убывать до Рп(п).
Этот вывод прежде всего убеждает нас, что усмотренное нами выше на примерах поведение величины Рп(к) при росте числа к (сперва возрастание, потом убывание) является общим законом, имеющим место во всех случаях. Но более того — этот вывод позволяет
Рис. 4.
нам также решить немедленно ту задачу, которую мы себе поставили, — определить иаивероятнейшее значение числа к. Обозначим это наивероятнейшее значение через k0. Тогда
Рп(к0+\)<Рп{к0)„
откуда, по предыдущему,
к0>пр- (1 - р);
другой стороны,
(?о - 1) < Рп (ко), для чего, по предыдущему, должно быть ft0-l<np-(l-p)
или
к0^пр — (1—р)+1=пр + р.
58
СХЕМА БЕРНУЛЛИ
[ГЛ. 5
Таким образом, наивероятнейшее значение fa числа k должно удовлетворять двойному неравенству
яр-0 -p)<*o<«P + P’. (7)
промежуток от пр — (1 — р) до пр +' р, в котором должно, таким образом, лежать число ко, имеет величину 1, как показывает простое вычитание; поэтому если
какой-либо из концов этого промежутка, например число пр—(1—р), не есть целое число, то между этими концами будет обязательно лежать одно и только одно целое число и k0 будет однозначно определено. Этот случай мы должны рассматривать как нормальный: ведь р < 1, и потому лишь в исключительных случаях величина пр—(1—р) будет целым числом. В этом исключительном случае неравенства (7) дают для числа к0 два значения: пр— (1 —р) и tip +р, отличающиеся друг от друга на единицу; эти два значе-пия и будут наивероятнейшими; их вероятности равны между собою и превышают вероятности всех других значений числа к. Именно этот исключительный слу-
§ 15) НАИВЕРОЯТНЕПШЕЕ ЧИСЛО НАСТУПЛЕНИИ СОБЫТИЯ 59
чан имеет место, например, в схеме, изображенной диаграммой на рис. 5; здесь п = 15, р = 1/2 и, значит, пр — (1 —р) =7, пр + р — 8; наиболее вероятными значениями числа k наступлений события служат числа 7 и 8; их вероятности равны между собою, каждая из них приближенно равна 0,196 (все это можно видеть на диаграмме).
Пр и мер 1. В результате многолетних наблюдений для некоторой местности было выяснено, что вероятность того, что в течение 1 июля выпадет дождь, равна 4/17. Найти наивероятнейшее число дождливых дней 1 июля за ближайшие 50 лет. Здесь п = 50, Р = 4/17,
— (1 — /’) = 50 • jy- —Ц- = 11;
число это оказалось целым; значит, мы имеем дело с исключительным случаем; наивероятнейшим значением числа дождливых дней будут равновероятные между собой числа 11 и 12.
Пр и м е р 2. В одном физическом эксперименте производятся наблюдения за частицами определенного типа. При одних условиях за промежуток времени определенной длины в среднем появляется 60 частиц и каждая из них с вероятностью 0,7 имеет скорость большую, чем у0- При других условиях за тот же промежуток времени в среднем появляется лишь 50 частиц, но для каждой из них вероятность имеет скорость, превышающую Vo, равна 0,8. Для каких условий опыта вероятнейшее число частиц со скоростью, превосходящей Vo, больше?
