Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
ФОРМУЛА БАЙЕСА
43
ходится применять ее в положениях, которые иллюстрируются следующим примером
Пусть стрельба ведется по цели, расположенной на прямолинейном участке MN (рис. 3), который мы мысленно разбили на пять небольших участков, а, Ь\ Ь", с', с". Допустим, что точное местоположение цели нам неизвестно мы знаем только вероятности того, что
Рис. 3.
цель лежит на том или другом из наших пяти участков; пусть эти вероятности равны
Р (а) = 0,48; Р (Ьг) = Р (Ъ") = 0,21; Р (с') = Р (с") = 0,05,
где через а, Ь', Ь", с', с" обозначены следующие события; цель находится в отрезке а, Ь', Ь", с', с" (сумма этих чисел равна единице). Наибольшая вероятность соответствует отрезку а, куда мы поэтому, естественно, и направляем наш выстрел. Однако из-за неизбежных ошибок стрельбы цель может оказаться пораженной и тогда, когда она находится не в а, а в каком-либо из других отрезков. Пусть вероятность поражения цели (события К) составляет:
Ра (Д) = 0,56, если цель лежит ь отрезке а,
РИД) = 0,18, » 7> » » V,
РИД) = 0,16, » » » » Ь",
Рс (Д) = 0,06, » » » » с',
Рс" (Ю = 0,02, » » » » » с".
Допустим, что выстрел произведен и цель оказалась пораженной (состоялось событие К). В результате этого вероятности различных положений цели, которые мы имели раньше (т. е. числа Р (а), Р(Ь')подвергаются переоценке; качественная
44 СЛЕДСТВИЯ ПРАВИЛ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ [ГЛ. 4
сторона этой переоценки ясна без всяких вычислений; мы стреляли по отрезку а и попали в цель — ясно, что вероятность Р (а) при этом должна увеличиться; но мы хотим точно количественно учесть произведенную нашим выстрелом переоценку, т. е. мы хотим найти точное выражение вероятностей Рк (я), Рк (Ь'), ... различных возможных положений цели при условии, что произведенным выстрелом цель была поражена. Формула Байеса (10) сразу дает нам ответ на этот вопрос:
Р* (а) = Р (а) Ра (К) [Р {а) Ра (КУ+ Р (V) Рь- (К) + + Р (Ь") Рь- (К) + Р (с<) Рс' (К) + Р (с") Рс¦ (ЮГ1 - 0,8;
мы видим, что Рк(я) действительно больше, чем
Р(«).
Подобным же образом легко находим и вероятности Рк (Ь'), ... других положений цели. Для вычисления полезно заметить, что выражения, .даваемые для этих вероятностей формулой Байеса, отличаются друг от друга только своими числителями; знаменатель же у них один и тот же; он равен Р (К) ~ 0,34.
Общая схема подобного рода положений может быть описана так. Условия операции содержат некоторый неизвестный элемент*, относительно которого может быть сделано п различных \гипотез: Ль
Ач, ..., Л„, образующих полную систему событий; по тем или другим причинам нам известны вероятности Р (Л,) этих гипотез до испытания; известно также, что гипотеза Л,- «сообщает» некоторому событию К (например, попаданию в цель) вероятность Рлг № (l-^t^ft) (PAi (К) есть вероятность события К, вычисленная при условии, что справедлива гипотеза Л,). Если в результате опыта событие К наступило, то это вызывает переоценку вероятностей гипотез Л; и задача состоит в том, чтобы найти новые вероятности Рк (Л,-) этих гипотез; ответ дается формулой Байеса.
В артиллерийской практике производится так называемая пристрелка, имеющая целью уточнить наши знания об условиях стрельбы. При этом неизвестным
ФОРМУЛА БАЙЕСА
45
элементом, требующим уточнения, может служить не только положение цели, но и любой другом элемент условий стрельбы, влияющий на ее эффективность (в частности, та или другая особенность употребляемого оружия).
Очень часто бывает, что таких пробных выстрелов производится не один, а несколько, и ставится задача о вычислении новых вероятностей гипотез на основе полученных результатов стрельбы. Во всех такик случаях формула Байеса также легко решает поставленную задачу.
Для сокращения записи положим в рассмотренной нами общей схеме
Р(А) = Р,-, РAi(K) = Pi ‘
так что формула Байеса получает простой вид
Р =
2Р гРг г — t
Допустим, что произведено s пробных выстрелов, причем результат К наступил /га раз и не наступил s — т раз. Обозначим через К* полученный результат серии из s выстрелов. Мы можем допустить, что результаты отдельных выстрелов представляют собой взаимно независимые события. Если справедлива гипотеза /4,-, вероятность результата А' равна и, значит, вероятность противоположного события (т. е. того, что К не наступит) равна 1—р,.
Вероятность того, что результат К наступил при определенных т выстрелах, по правилу умножения для независимых событий равна /?/”(1 — Pi)s~m. Так как эти т выстрелов, при которых наступил результат К, могут оказаться любыми из s произведенных, то событие К* может осуществиться С™ несовместимыми способами. Таким образом, по правилу сложения вероятностей
рЛ, {К*) = сур (I - Pl)s~m (l<i< п),
46 СЛЕДСТВИЯ ПРАВИЛ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ [ГЛ 4
и формула Байеса дает:
р«.(А)- (1 <,<„). („)
