Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
2,р,р?('-рг)'~т
г=1
что и решает поставленную задачу. Понятно, что подобные задачи возникают не только в практике артиллериста, но и в других областях человеческой деятельности.
Пример 1. В задаче, рассмотренной нами в начале настоящего параграфа, найти вероятность того, что цель лежит в отрезке а, если два последовательных выстрела по этому отрезку дали попадание.
Обозначая через К* двукратное попадание в цель, согласно формуле (11) имеем:
р __________Р (а) [Ра (Ю13_________.
р (а) [Рв (Я)]2 + Р (!>') [Рь, (/С)];
предоставляем читателе произвести несложный расчет и убедиться, что в результате двукратного попадания вероятность того, что цель расположена в отрезке а, еще более увеличилась.
Пример 2. Вероятность того, что в некотором производстве изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,96. Предлагается упрощенная система испытаний *), которая для изделий, удовлетворяющих стандарту, дает положительный результат с вероятностью 0,98, а для изделий, ему не удовлетворяющих, — лишь с вероятностью 0,05. Какова вероятность, что изделие,
*) Необходимость в упрощенном контроле встречается на практике весьма часто. Например, если бы при выпуске 6 свет электрических Лампо^к йсе они подвергались проверке на способность их горения в течение не менее чем, скажем, 1200 часов, то потребитель получал бы лишь оДнИ перегоревшие или почти перегоревшие лампочки. Приходится испытание на срок горения заменить другим испытанием, например проверкой лампочки на зажигаемость.
ФОРМУЛА БАПЕСА
*
47
дважды выдержавшее упрощенное, испытание, удовлетворяет стандарту?
Здесь полная система гипотез состоит из двух противоположных событий: 1) изделие удовлетворяет
стандарту, 2) изделие не удовлетворяет стандарту. Вероятности этих гипотез до опыта соответственно равны Pi — 0,96 и Рг = 0,04. При первой гипотезе вероятность того, что изделие выдержит испытание, равна pi = 0,98, а при второй р2 = 0,05. После двукратного опыта вероятность первой гипотезы на основании формулы (11) равна
Рхр\ 0,93 • (0,98)2
PiP\ + P-iP'i ~ 0,96 ¦ (0,98)2 + 0.04 ¦ (0,05)2
0,9999.
Мы видим, что если изделие выдержало указан-•нсе в условии задачи испытание, то только в одном случае из десяти тысяч мы можем совершить ошибку, считая его стандартным. Это, конечно, 'вполне удовлетворяет требованиям практики.
Пример 3. При исследовании больного имеется подозрение на одно из трех заболеваний: Ai, А2, А3. Их вероятности в данных условиях равны соответственно
Для уточнения диагноза назначен некоторый анализ, дающий положительный результат с вероятностью 0,1 в случае заболевания А1у с вероятностью 0,2 в случае заболевания Л2 и с вероятностью 0,9 в случае заболевания А3. Анализ был произведен пять раз и дал четыре раза положительный результат и один раз отрицательный. Требуется найти вероятность каждого заболевания после анализа.
В случае заболевания Ai веройтность указанных исходов анализов равна, по правилу умножения, pi = С\ • (0,1 )4- 0 ,9. Для второй гипотезы эта вероятность равна р2 — Ct -(0,2)4 *0,8 и для третьей—! Рз= Ct • (0,9)4 -0,1.
48 СЛЕДСТВИЯ ПРАВИЛ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
По формуле Байеса находим, что после анализов вероятность заболевания At оказывагется равной
Р\Р\_________=
PjPi + Р2Р2 + РзРз
~ -(0,1)4 -0,9
= -----------:-----------------------=------------- - 0,002;
- • (ОД)4 • 0,9 + — • (0,2)4 - 0,8 + -1 • (0,9)4 • 0,1
вероятность заболевания Лг —
_______P2P 2__________
Pi Pi + Р2Р2 + РзРз
4- • (0,2)4 • 0,8
= -j------------------\--------------j------------- - 0,01
— • (0,1)4 • 0,9 + -^ • (0,2)4 • 0.8 + 4 • (0,9)4 • 0,1
X О О
и вероятность заболевания Лз —
_______Р зРз__________
P\Pl + Р 2Р2 + Р зРз
(0,9)4 • 0,1
= -j----------------~1---------------1------------- - 0,988.
- • (0,1)4 • 0,9 + — • (0,2)4 • 0,8 + ~ • (0,9)4 • 0,1
Так как эти гри события Аи Л2, Л3 и после опыта образуют, очевидно, полную систему событий, то для контроля произведенного расчета можно сложить три полученных числа и убедиться, что сумма их по-прежнему равна единице.
»
ГЛАВА ПЯТАЯ СХЕМА БЕРНУЛЛИ
§ 13. Примеры
Пример 1. Среди волокон хлопка определенного сорта в среднем 75% имеют длину, меньшую чем
45 мм, и 25% — длину, большую (или равную) 45 мм. Найти вероятность того, что среди трех наудачу взятых волокон д&а будут короче, а одно длиннее 45 мм.
Обозначим событие — выбор волокна с длиной, меньшей 45 мм, — через А, а событие — выбор волокна с длиной, большей 45 мм, — через В; тогда ясно, что
Р(Л) = |; Р (В) =
