Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р(Л) = Р(?) + Р(^). (6)
С другой стороны, чтобы имело место событие Е, надо, чтобы 1) лампочка была изготовлена первым заводом (В) и 2) чтобы она была стандартна (Л); поэтому событие"/: равносильно событию (В и Л), откуда по правилу умножения
Р(?) = Р(?)РД(Л).
40 СЛЕДСТВИЯ ПРАВИЛ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ {ГЛ 4
Совершенно тем же путем находим:
P(F) = P(B)Pj (Л), а подставляя эти выражения в равенство (6):
Р(Л) = Р(В)Рв (Л) + Р(В)Р^(Л).
Эта формула и решает поставленную нами задачу. Подставляя данные числа, находим Р (Л) = 0,77.
Пример. Для посева заготовлены семена пшеницы сорта I, содержащие небольшое количество примесей других сортов — II, III, IV. Возьмем одно из этих зерен. Событие, состоящее в том, что это зерно сорта I, обозначим через Л{, что оно сорта II — через Лг, сорта III — через Л3 и, наконец, сорта IV — через Л4. Известно, что вероятности того, что наудачу взятое зерно окажется того или иного сорта, равны
Р (Л,) = 0,96; Р (Л,) = 0,01; Р (Л3) = 0,02; Р(Л4) = 0,01.
(Сумма этих четырех чисел равна единице, как это и должно быть для полной системы событий.)
Вероятность того, что из зерна вырастает колос, содержащий не менее 50 зерен, равна:
1) 0,50 из зерна сорта I,
2) 0,15 » » » II,
3) 0,20 » » » III,
4) 0,05 » » » IV.
Требуется найти безусловную вероятность того, что колос будет иметь не менее 50 зерен.
Пусть Д' — событие, состоящее в том, что колос будет содержать не менее 50 зерен; тогда по условию задачи
Рл, (К) = 0,50; Рд2 {К) = 0,15;
РаЛК) = 0,20; _ Рд4(Д) = 0,05.
Нашей задачей является определение Р (К). Обозначим через Ei событие, состоящее в том, что зерно окажется сорта I и колос, выращенный из него, будет
t
§ 11] ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ 41
содержать не менее 50 зерен, так что Е\ равносильно событию (/4t и К) \ подобным же образом обозначим
через Е2 — событие (Л, и К),
» Е3- » (Л3 и К),
» Е4— » (Л4 и К).
Очевидно, что ддя наступления события К необходимо, чтобы наступило одно из событий Ей Е2, Е3, ?4, а так как любые два из этих событии друг с другом несовместимы, то по правилу сложения получаем:
Р (К) = Р (?,) + Р (Е2) + Р (Е3) + Р (?<). (7)
С другой стороны, по правилу умножения,
Р(?,) = Р(Л, и К) = Р (Л,) PAl (К).
Р(Е2) = Р (Л2 и Ю = Р('Ь)РаЛЮ,
Р (Е3) = Р (А3 и К) = Р (Л3) РА, (К),
Р(?,) = Р(Л, и Ю = Р(Л|)РА(^0.
Вставляя эти выражения в равенство (7), мы находим:
р (К)=р (Л,) PAl (К) + Р (Л2) РАг (К) +
+ Р(Л3)РЛ1(/С) + Р(Л4)Р*.(/0.
что и решает, очевидно, нашу задачу.
Подставляя данные числа, находим:
Р (К) = 0,486.
Два примера, которые мы здесь подробно рассмотрели, приводят нас к важному общему правилу; мы* можем теперь сформулировать и доказать его без всяких затруднений. Пусть данная операция допускает результаты Ль Л2, ..., Л„, образующие полную систему событий (напомним: это означает, что любые два из этих событии друг с другом несовместимы и что какое-нибудь из них обязательно должно наступить). Тогда для любого возможного результата К этой операции имеет место соотношение
Р(Ю = р(а1)РаЛЮ +
+ Р(Л2)Рл2(Ю+ ... +РИ„)Рл„(Ю- (8)
42
СЛЕДСТВИЯ ПРАВИЛ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ [ГЛ. 4
Это правило (8) обычно называют формулой полной вероятности. Доказательство его проводится в точности так же, как в двух рассмотренных нами примерах; во-первых, наступление событий К требует наступления одного из событий (Л; и К), так что по правилу' сложения
Р (К) = 2 Р (А, и я); (9)
во-вторых, по правилу умножения,
Р(лг и к) = Р(л,)РЛ|(/0;
вставляя эти выражения в равенство (9), мы и приходим к формуле (8).
§ 12. Формула Байеса
Формулы предыдущего параграфа позволяют нам вывести один важный результат, имеющий многочисленные приложения. Мы начнем с формального вывода, отложив выяснение реального смысла окончательной формулы до рассмотрения примеров.
Пусть снова события Ль Л2, . .., Ап представляют собой полную систему результатов некоторой операции. Если тогда К означает произвольный результат этой операции, то по правилу умножения
Р (Л* и К) = р (Л,) Рл. (К) = Р (Ю Р* (л,) (1 < * < п),
откуда
р* (Лг) = --- (!<*•< П),
ели, выражая знаменатель полученной дроби по формуле полной вероятности (8) предыдущего параграфа,
р (Л) ра• (*>
р*(4) = „ ------- О (Ю)
2рИ,)рл,(*)
Это — формула Байеса, имеющая много приложений в практике вычисления вероятностей. Чаще всего при-