Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 2 3
0 0,2 0,8
(О
В общем случае случайная величина, возможные значения которой суть xit х2, ..., хп, а соответствующие вероятности — рх, р2, р„, определяется таб-
лицей
х{ х2 к„
Р1 Р 2 ... Рп
Задать такую таблицу, т. е. задать все возможные значения случайной величины вместе с их вероятностями, означает, как говорят, задать закон распределения этой случайной величины. Знание закона распределения данной случайной величины позволяет решать все связанные с нею вопросы.
Задача. Число очков, выбиваемых при одном выстреле одним стрелком, имеет закон распределения (I);
78 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ [ГЛ. 7
такое же число очков для другого стрелка имеет закон распределения
1 2 3
0,2 0,5 0,3
Найти закон распределения для суммы очков, выбиваемых обоими стрелками.
Ясно, что сумма, о которой идет речь, — случайная величина; наша задача — составить ее таблицу. Для этого мы должны рассмотреть все возможные результаты совместной стрельбы наших двух стрелков; мы расположим эти результаты в следующую таблицу, где вероятность каждого результата вычисляется по правилу умножения для независимых событий и где х означает число очков, выбиваемых первым стрелком, а у— число очков, выбиваемых вторым стрелком.
№ резуль X V х+у Вероятность
тата результата
1) 1 1 2 0 • 0,2 = 0
2) 1 2 3 0, • 05 = 0
3) 1 3 4 0-0,3=0
4) 2 1 3 0,2 • 0,2 = 0,04
5) 2 2 4 0,2-0,5 =0,1
С) 2 3 5 0,2-0,3=0,06
7) • 3 1 4 0,8-0,2 = 0,16
8) 3 2 5 0,8 • 0,5 = 0,4
9) 3 3 6 0,8 • 0,3 = 0,24
Эта таблица показывает, что интересующая нас сумма х + у может принимать значения 3, 4, 5 и 6;
ПОНЯТИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
79
значение 2 для нее невозможно, так как вероятность его равна нулю *), Мы имеем х + у = 3 в случаях результатов 2) и 4); стало быть, для того чтобы сумма х + у получила значение 3, надобно наступление одного из результатов 2) или 4); вероятность этого по правилу сложения равна сумме вероятностей этих результатов, т. е. равна 0 + 0,04 = 0,04. Для равенства
х + у — 4
надобно наступление одного из.результатов 3), 5) или 7); вероятность этого равенства равна поэтому (опять по правилу сложения) 0 + 0,1+0,16 = 0,26; подобным же образом мы находим, что вероятность значения 5 для суммы х + у равна
0,06 + 0,4 = 0,46,
а вероятность значення 6, наступающего только в случае результата 9), равна 0,24. Таким образом, для случайной величины х + у мы получаем следующую таблицу возможных значений:
3 4 5 6
0,04 0,25 0,46 0,24
Эта таблица (III) полностью решает поставленную задачу.
Сумма всех четырех вероятностей в таблице (III) равна единице; этим свойством должен, конечно, обладать каждый закон распределения, так как речь идет о сумме вероятностей всех возможных значений случайной величины, т. е. о сумме вероятностей некоторой полной системы событий Этим свойством законов распределения удобно пользоваться как контрольным приемом для проверки правильности произведенных вычислений.
*) Можно, конечно, считать число 2 н возможным значением величины х + у, имеющим вероятность 0. подобно тому, как мы ради общности сделали это для значения 1 в таблице (1).
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
§ 20. Определение среднего значения случайной величины
Те два стрелка, о которых мы только что говорили, стреляя вместе, могут выбить, в зависимости от случайных обстоятельств, либо 3, либо 4, либо 5, либо 6 очков, вероятности этих четырех возможных результатов указаны в таблице (III) на стр. 79 Если спросить: «сколько очков выбивают наши два стрелка при одном (двойном) выстреле?», то на этот вопрос мы не сможем ответить, потому что разные выстрелы дают разные результаты. Но для оценки качества стрельбы нашей пары мы будем, конечно, интересоваться результатом не отдельного выстрела (этот результат может быть случайным), а средним результатом за целую серию выстрелов. Сколько же очков дает в среднем один выстрел нашей пары стрелков? Этот вопрос поставлен уже вполне разумно, и на него может быть дан ясный ответ.
Будем рассуждать так. Если наша пара стрелков производит сто двойных выстрелов, то, как показывает таблица (III),
примерно 4 из этих выстрелов дадут по 3 очка » 26 » » » » » 4 »
» 46 » » » » » 5 очков
» 24 » » » » » 6 »
5 '„'О) СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ g|
Таким образом, в среднем, каждая сотня двойных выстрелов даст нашей паре общее число очков, выражающееся суммой
3-4 + 4-26+ 5-46+ 6-24 = 490.
Деля это число на 100, мы получаем, что в среднем на одни выстрел приходится 4,9 очка, это и дает ответ па поставленный нами вопрос. Заметим, что вместо того, чтобы делить на 100 готовую сумму (490) (как мы это только что делали), мы могли бы еще до сложения разделить на 100 каждое из слагаемых; тогда сумма прямо лает нам среднее число очков на один выстрел; проще всего произвести это деление, деля на 100 вторые множители всех слагаемых: ведь эти множители были получены умножением вероятностей,указанных в таблице (III), на 100, и для того чтобы разделить их на 100, достаточно просто вернуться к этим вероятностям. Для среднего числа очков, приходящегося на один выстрел, мы получаем, таким образом, выражение
