Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Весьма важно, что для вычисления среднего значения суммы во всех случаях достаточно знать средние значения слагаемых и что среднее значение суммы выражается во всех случаях через средние значения слагаемых наиболее простым способом, какой только можно себе представить: среднее значение суммы всегда равно сумме средних значений слагаемых
Таким образом, если х и у — две совершенно произвольные случайные величины, то
х + у — х + у.
92
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. 9
В вышеприведенном примере х— число изделий одного только первого предприятия, у— число изделий второго предприятия: х = 120, у = 180, и значит,
х+у=х+у= 300.
Чтобы доказать в общем виде утверждаемое правило, допустим, что величины х и у соответственно подчиняются законам распределения
• *1 х2
Pi Р2 Pk
(D
У\ Уг У1
Ч\ <72 ... Я1
(И)
Тогда возможными значениями величины х + у будут всевозможные суммы вида xt + г/j, где 1 ^ i ^ k и
1 ^ ^ /. Вероятность значения xt + г/j, которую будем обозначать через рц, нам неизвестна; это есть вероятность двойного события х = Xj, у = ут. е. вероятность того, что величина х получит значение хи а величина у — значение уj. Если бы мы могли считать эти два события взаимно независимыми, то по правилу умножения имели бы, конечно,
Рц = P,Qj> (0
но мы отнюдь не станем предполагать независимости этих событий.
Итак, равенство (1), вообще говоря, не будет иметь места, и нужно считаться с тем, что знание таблиц I (1) и (II) ничего не позволяет заключить о величинах Pi j.
По общему правилу, среднее значение величины х + у равно сумме произведений всех возможных значений этой величины на соответствующие вероятности, т.-е.
х + у =
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ СУММЫ
93
Рассмотрим теперь внимательнее сумму 2 Рц', это
/-1
есть сумма вероятностей всевозможных событий вида (х = Хг, 11 = t/j), где число I—одно и то же во всех членах суммы, а число / от члена к' члену меняется, пробегая весь ряд возможных для него значений (от 1 до / включительно); так как события у = ys при различных / друг с другом, очевидно, несовместимы, то
i
по правилу сложения сумма 2 Рц есть вероятность
наступления какого-нибудь одного из I событий (х = хи у = Ui) и = 1, 2, I).
Но сказать «наступило какое-нибудь одно из событий х = xit у = yj (1 ^ / ^ /)» — все равно, что просто сказать «наступило событие х = л:*»; в самом деле: 1) если наступило одно из событии (х = хи у = Уз) (/ — все равно какое), то, очевидно, наступило и событие х = х,-;~2) обратно, если наступило событие х = xit то, так как у обязательно принимает одно из своих возможных значении уи у2, .... уь должно наступить и какое-нибудь из событий (х = х{, у — у,) (1 ^С/^/).
Таким образом, 2р</. будучи вероятностью наступле-/=¦ 1
пип какого-нибудь одного из событий (х — хи у = у,) (1^/^С/), равна просто вероятности события х = = хи Т. е. г
2 Рц = Ри /=¦
Совершенно аналогичным образом мы убеждаемся, конечно, что
вставляя же эти выражения в равенство (2), мы находим:
______ k i
х + у = 2j XiPi + 2 ifiQi = X + //, i-i ;-i
что и требовалось доказать. .
Теорема, доказанная нами для случая двух слагае
ыых, автоматически распространяется на случай трех
94 СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. 9
и более слагаемых; в самом деле, в силу того, что мы только что доказали, что можем написать
х + у + z = х у + z = x + y + z
И т. д.
Пример. На некотором предприятии установлено п станков и с каждого станка отобрано по одному изделию. Определить среднее число бракованных изделий, если известно, что вероятность изготовления бракованного изделия первым станком равна р\, вторым станком —/72, ..., я-м станком — р„.
Число бракованных изделий при анализе одного изделия есть случайная величина, способная принимать только два значения: 1, если это изделие бракованное, и 0, если оно годное. Вероятности этих значений для первого станка равны соответственно pi и 1 — ри вследствие чего среднее число бракованных изделий из числа взятых с первого станка равно
1 ¦ Р! + 0 • (1 ~Pl) = Pl.
Для второго станка среднее число бракованных изделий среди взятых равно р2 и т. д. Общее число бракованных изделий есть сумма бракованных изделий, попавшихся среди изделий, изготовленных на первом, втором и других станках. Поэтому, в силу только что установленного нами правила сложения средних значений, среднее число бракованных изделий среди выбранных нами равно
Pi + Рг + • • • + Рп>
что и решает поставленную задачу.
В частности, если вероятность изготовления бракованного изделия одна и та же для всех станков (pi = = р2 = ... = рп = р), то среднее.значение общего числа бракованных изделий равно пр. Этот результат мы уже получили на стр. 68* [формула (5)]. Интересно сравнить громоздкие расчеты, которые понадобились там для этой цели, с тем простым, не требующим никаких вычислений рассуждением, которое здесь привело нас к тому же результату. Однако мы выгадали не только в простоте, но и в общности. При нашем
