Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
(3)
5 251 ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧЕСКОМ УКЛОНЕНИИ Ц|
В частности, если п = 9, а, = а2 = ... = а9 = 10 см и Ч\ = <72 = ¦ ¦ = = 0,2 см, то а = 90 см и q =
= ]/9 • (0,2)2 = 0,6 см.
Мы видим, таким образом, что если в среднем длина каждой отдельной детали уклоняется от своего среднего значения на 2%, то длина цепи из этих деталей отличается от своего среднего значения примерно лишь на 2/з%. Это обстоятельство—уменьшение относительной ошибки при сложении случайных величин — играет значительную роль при сборке точных механизмов. Действительно, если бы не бы- -----------------------------
ло взаимной компенсации
отклонений размеров от* ^шЯШВ дельных деталей от задан- ¦
ных нормальных разме- 1 г 3 л
ров, то при сборке механизмов постоянно ветре- Рис. 10.
чались бы случаи, когда
объемлющие детали не охватывали бы объемлемой цепи или, напротив, при этом оставались бы чрезмерно большие зазоры. В обоих случаях получался бы явный брак; бороться с этим браком по пути уменьшения «допусков», т. е. по пути уменьшения допустимых отклонений фактических размеров детали от заданных, было бы нецелесообразно, так как сравнительно небольшое увеличение точности обработки значительно повышает ее стоимость*).
Пример 3. Допустим, что в неизменных условиях производятся п измерений некоторой величины. В результате целого ряда обстоятельств (положения прибора, наблюдателя, колебания в состоянии воздуха, наличия в нем пылинок и пр.) различные измерения будут давать, вообще говоря, различные результаты — имеют место случайные ошибки измерений. Будем обозначать результаты измерений через х{, х2, ..., х„,
*) Техническая мысль в последнее время пришла к выводу о необходимости создания теории допусков, основанной на соображениях и выводах теории вероятностей. Эта теория допусков сейчас усиленно разрабатывается учеными.
ПО РАССЕЯНИЕ И СРЕДНИЕ УКЛОНЕНИЯ [ГЛ. 10
изделий при изготовлении i-ro из них определяете^ таблицей
1 0
р 1 -р
ПОЭТОМУ Xi = р и
q\ = (х. - x.f = (1 - pf р + р2 (1 - р) = р (1 - р)-, следовательно, " _____
Q = = ^^
Этим поставленная задача решена.
Сопоставляя среднее число пр бракованных изделий с его средним квадратическим уклонением Ytip(\ — р),мы видим, что при больших значениях п последнее значительно меньше первого и составляет лишь небольшую долю его. Так, при п = 60 000, р = 0,04 среднее число бракованных изделий равно 2400, а среднее квадратическое уклонение
Q = |Лб0000 • 0,04 ¦ 0,96 = 48, так что фактическое число бракованных изделий ориентировочно будет уклоняться лишь на 5% от своего среднего значения.
Пример 2. Представим себе, что производится сборка некоторого механизма, состоящего из п деталей, прикладываемых вплотную одна к другой вдоль некоторой оси и охватываемых с концов некоторой объемлющей деталью (рис. 10). Длина каждой детали может несколько отличаться от соответствующего стандарта и есть поэтому случайная величина. Предположим эти случайные величины независимыми. Если средние длины деталей и дисперсии этих длин равны соответственно
«I» ¦ ¦ ч «п и qi, ^2> ¦ • ¦» qn»
то среднее значение и дисперсия длины цепи из п деталей равны
Г~п---
а = 2 Oft и <7=1/ 2 q\ • k=l г ь=1
112
РАССЕЯНИЕ И СРЕДНИЕ УКЛОНЕНИЯ
ГГЛ. 10
приписывая каждому х в качестве индекса (значка] номер измереиия. Среднее значение для всех этих случайных величин одно и то же — х. Среднее ?»адратл-ческое уклонение q, очевидно, также естественно предположить одним и тем же для всех измерений, так как они производятся в неизменных условиях. Наконец, мы считаем, как обычно, величины хи х%, ..., хп взаимно независимыми.
Рассмотрим теперь среднее арифметическое
*. __ У) + *2 + • • • + ХП
6 п
результатов п измерений. Это — случайная величина; найдем ее среднее значение и среднее квадратическо'е уклонение. По правилу сложения
l = 7f(*i + *i+ ••• + *п) = (*i + *¦ + ••• +*„) =
= ~ (пх) = х,
т. е. среднее значение, как это в сущности и ранее было очевидно, то же самое, что и для каждого отдельного измерения.
Далее, среднее квадратическое уклонение суммы Х\ + *2+ ¦ ¦ ¦ + хп по правилу сложения дисперсий (3) равно
Q = Vncf = q V
а среднее квадратическое уклонение величины ?, составляющей V„ этой суммы, равно
Q _z Ч_
п | п
Мы приходим к очень важному результату: сред-нее арифметическое п взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин имеет:
а) среднее значение — то же самое, что и каждая из составляющих величин;
б) среднее квадратическое уклонение — в \^п раз меньшее, чем каждая из составляющих величин.
