Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
среднее значение этого квадрата равно поэтому
2 (xi - х? Pi-
i = l
Эта величина дает нам представление о том, чему примерно равен квадрат уклонения х — х; поэтому, извлекая из этой величины квадратный корень
Qx=]/ 2 (xt- х)2 pit
r ' i=I
104
РАССЕЯНИЕ И СРЕДНИЕ УКЛОНЕНИЯ [ГЛ. 10
мы получаем величину, способную охарактеризовать нам примерный размер самого уклонения. Величина Qx называется средним квадратическим уклонением случайной величины х, а квадрат ее, т. е. величина С?л> — ее дисперсией. Разумеется, эта новая мера величины уклонения носит характер несколько более искусственный, чем среднее уклонение, введенное нами выше: здесь мы идем обходным путем, находя сначала ориентировочное значение для квадрата уклонения и лишь потом, с помощью извлечения квадратного корня, возвращаясь к самому уклонению. Но зато, как мы увидим в следующем параграфе, использование средних квадратичных уклонений Q* значительно упрощает вычисления. Именно это и заставляет статистиков на практике преимущественно пользоваться средними квадратическими уклонениями.
Пример. Для случайных величин, определяемых таблицами* (Г) и (II') на стр. 83, мы имеем соответственно:
Q2xy — (I — 2,1 )2 - 0,4 + (2 — 2,1)2 • 0,1 +
+ (3 — 2,1 )2 • 0,5 = 0,89
и
Qx„- = (1 - 2,2)2 • 0,1 + (2 - 2,2)2 • 0,6 +
+ (3-2,2)2 -0,3 = 0,36,
и, следовательно,
Qx г = 1^0,89 !=» 0,94 и Qxir = 0,6.
Выше мы имели для тех же величин средние уклонения:
МХ1/ = 0,9 и .M*ji/ = 0,48.
Мы видим, что среднее квадратическое уклонение, так же как и среднее уклонение, для первой величины значительно больше, чем для второй; будем ли мы измерять рассеяние средним или средним квадратическим уклонением, в обоих случаях мы приходим к тому же выводу, что первая из наших двух величин рассеяна в большей степени, чем вторая.
§ 24] ИЗМЕРЕНИЕ РАССЕЯНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 105
Б обоих случаях у нас среднее квадратическое уклонение оказалось больше среднего уклонения; легко сообразить, что так оно должно быть для любой случайной величины. В самом деле, дисперсия Qi> как среднее значение квадрата величины \Х — х |, по правилу, доказанному па стр. 89, не может быть меньше, чем квадрат среднего значения Мх величины \х — х\, а из Qx Мх вытекает
3. Срединное (вероятное) уклонение. Часто, особенно в военном деле, употребляется иной способ для определения размеров рассеивания; мы изложим его в терминах артиллерийского примера.
О
ОС С сс —-Г
-X
Рис. 9.
Допустим, что ведется артиллерийская стрельба из точки О в направлении ОХ (рис. 9); расстояние х места падения снаряда от места вылета есгь случайная величина, среднее значение которой указывает нам положение «центра попаданий» С(ОС = х), вокруг которого более или менее рассеиваются точки падения отдельных снарядов.
Уклонение х— х изучаемой нами случайной величины (дальности полета снаряда) от ее среднего значения есть вместе с тем уклонение точки падения снаряда от центра попаданий С; всякая оценка величины |Х — 5?1 поэтому оценивает вместе с тем степень рассеяния, разброса снарядов вокруг этого центра С и служит, таким образом, важнейшим показателем качества стрельбы.
Если мы отложим от точки С влево и вправо по очень малому отрезку длины а, то лишь немногие снаряды будут ложиться внутри полученного таким образом отрезка длины 2а с середнной в точке С, иначе говоря, вероятность того, что |х — .т| < а, при малых о. будет еще очень мала. Но будем теперь расширять
106
РАССЕЯНИЕ И СРЕДНИЕ УКЛОНЕНИЯ
[ГЛ. 10
построенный нами отрезок, увеличивая число а (которое ведь было выбрано произвольно). Чем больше 'будет построенный отрезок, тем большая доля снарядов будет падать внутри него и тем больше будет, значит, для отдельного снаряда вероятность попасть внутрь этого отрезка; когда а очень велико, то практически все снаряды будут падать внутри этого отрезка; таким образом, с постепенным возрастанием числа а вероятность неравенства
\ х — х\<а
растет от нуля до единицы; сначала, при малых а, вероятнее, что
\х — *|>а,
т. е. что снаряд упадет вне отрезка; а потом, при больших а, вероятнее, что будет \х — х \ < а, т. е. что снаряд упадет внутри отрезка. Поэтому где-то при переходе от малых значений числа а к более крупным должно быть такое значение а0 этого числа а, что снаряд имеет одинаковую вероятность упасть как внутри, так и вне отрезка длины 2ао, построенного вокруг точки С. Другими словами, неравенства
| х — х | < а0
и
| х — х | > а0
одинаково вероятны, и, значит, вероятность каждою из них равна 7г (если мы условимся пренебрегать ничтожно малой вероятностью точного равенства I* — х| = а). При а < а0 более вероятно второе, при а>ссо — первое из написанных неравенств. Таким образом, существует единственное определенное число а0 такое, что абсолютная величина уклонения с одинаковой вероятностью может оказаться как больше, так и меньше чем ао.
