Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Элементарное введение в теорию вероятностей" -> 33

Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей — Наука, 1970. — 169 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnoevvedeievteoriuveroyatnostey1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 53 >> Следующая


Как велико ао — это зависит от качеств стреляющего орудия; легко видеть, что величина ао может служить мерой рассеяния снарядов, подобно среднему или среднему квадратическому уклонению. В самом деле, если, например, ао очень мало, то это означает,
§251 ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧЕСКОМ УКЛОНЕНИИ W7

что уже на очень малый окружающий точку С отрезок ложится половина всех выпускаемых орудием снарядов, что свидетельствует о сравнительно незначительном рассеянии. Напротив, если ао велико, то, окружив точку С даже большим отрезком, мы все же должны рассчитывать, что половина снарядов будет ложиться за пределами этого отрезка; а это, очевидно, показывает, что снаряды сильно рассеиваются вокруг центра.

Число а0 называют обычно срединным или вероятным уклонением величины х\ таким образом, срединным или вероятным уклонением случайной величины х мы называем такое число, что уклонение х — х с одинаковой вероятностью может оказаться по абсолютному значению как больше, так и меньше этого числа. Хотя срединное уклонение величины х, которое мы будем обозначать через Ех, для математических расчетов не более удобно, чем среднее уклонение Мх, и значительно менее удобно, чем среднее квадратиче» ское уклонение Qx, тем не менее в артиллерии принято для оценки всех уклонений пользоваться именно величиной Ех. В дальнейшем мы узнаем, почему это на практике не ведет обычно ни к каким затруднениям.

§ 25. Теоремы о среднем квадратическом уклонении

Убедимся теперь, что средние квадратические уклонения действительно обладают особыми свойствами, заставляющими предпочитать их всяким другим характеристикам величины уклонения — средним, срединным (вероятным) уклонениям и т. п. Как мы убедимся немного позднее, для приложений основное значение имеет следующая задача.

Пусть мы имеем случайные величины Х\, *2, .... хп со средними квадратическими уклонениями qh q2,..., qn-Положим Х\ +. *2+..-+хп = X и спросим себя, как найти среднее квадратическое уклонение Q величины X, если даны q\, q2, ..., qn и если мы предполагаем случайные величины Xi (1-^/^п) взаимно независимыми.
108

РАССЕЯНИЕ И СРЕДНИЕ УКЛОНЕНИЯ

[ГЛ. 10

В силу теоремы о сложении средних значений мы имеем:

пользуясь правилом сложения средних значений, находим поэтому:

Но так как величины х и xk, согласно нашему предположению, при i ф k взаимно независимы, то по правилу умножения средних значений взаимно независимых величин при i Ф k

(xi - Xt) (xk - хк) = (xt - xt) (xk - xk).

Здесь оба множителя правой части равны нулю, так как, например,

таким образом, в последней сумме равенства (2) каждый член в отдельности обращается в нуль, что приводит нас к соотношению

X — .V) + х2 + ... + хп

и, следовательно.

X — X = (-V, - а,) + (х2 - х.) + ... + (*„-*„),

откуда

п

2

(x-xf= 2 (xt - х,)

'i = i

п

n n n

= 2 (*i - Xif +22 (Xi - A.) (xk - Xk). (I)

1 = 1

Заметим теперь, что

i - l /г-1 i k

(X - xf =

n n rt

Q2 = 2 </? +22 (xt - ?,) (xk - xk). (2)

;__i ; i h i

i=l i I k =\

i I k i i ft

(*i - Xi) = -V/ - Xi = 0;
§25] ТЕ0РЕМЫ О СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧЕСКОМ УКЛОНЕНИИ j(}9

т. е. дисперсия суммы взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Мы видим, что в случае взаимно независимых случайных величин к правилу сложения средних значений присоединяется весьма важное правило сложения дисперсий; для средних квадратических уклонений мы отсюда получаем:

Эта возможность просто выразить среднее квадратическое уклонение суммы через средние квадратические уклонения ее слагаемых в случае их взаимной независимости и представляет собой одно из важнейших преимуществ средних квадратических уклонений сравнительно со средними, срединными и другими уклонениями.

Пр и мер 1. Если на некотором предприятии каждое изготовленное изделие может оказаться бракованным с вероятностью р, то среднее число бракованных изделий среди п изготовленных (как мы видели на стр. 85) равно пр. Чтобы ориентировочно оценить, сколь большим может оказаться уклонение фактического числа бракованных изделий от этого среднего значения, найдем среднее квадратическое уклонение числа бракованных изделий от пр\ проще всего это сделать применением формулы (3).

В самом деле, число бракованых изделий можно рассматривать как сумму чисел бракованных изделий прн изготовлении каждого изделия (как мы это уже делали при рассмотрении аналогичного примера на стр. 94). А так как эти числа мы считаем взаимно независимыми случайными величинами, то по правилу сложения дисперсий мы можем для вычисления среднего квадратического уклонения Q общего числа бракованных изделий воспользоваться формулой (3), в которой q\, q2, ..., qn означают средние квадратические уклонения числа бракованных изделий при изготовлении каждого изделия. Но число бракованных
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed