Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
3 • 0,04 + 4 • 0,26 + 5 • 0,46 + 6 ¦ 0,24 = 4,9.
Сумма, стоящая в левой части этого равенства, как мы непосредственно видим, построена из данных таблицы (III) по очень простому правилу: каждое из указанных в верхней строчке этой таблицы возможных значений умножено на стоящую под ним в таблице его вероятность, и все такие произведения сложены между собой.
Проведем теперь это же рассуждение в общем виде. Допустим, что некоторая случайная величина задана таблицей
*1 х2 • ¦ •
р\ Р2 ¦ ... Рк
Вспомним: если вероятность значения Х{ величины х равна pi, то это означает, чго в серии из п операций это значение Х\ будет наблюдаться примерно пх раз, где п{/п = pi, откуда п{ = при аналогично, значение
6 Б. В. Гиеденко, А. Я. Хннчин
82
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
[I Л. 8
х2 при этом встретится примерно п2 = пр2 раз, .,. значение встретится примерно пк — nph раз.
Таким образом, серия из п операций будет в среднем содержать
п, = прх операций, где х = хи п, = прг » » х = х2,
»
tik = nPk операций, где х = хк.
Сумма значений величины х во всех п произведенных операциях будет поэтому примерно равна
лг,П| + х2п2 + ... + хкпк = п{х1р1 + х2р2+ ... + хкрк).
Поэтому среднее значение х случайной величины, соответствующее отдельной операции и получаемое из только что написанной суммы делением на число п операций в данной серии, будет равно
X = XfPi + х2р2 + ... + хкрк.
Мы приходим, таким образом', к следующему важному правилу: для получения среднего значения случайной величины надо каждое из ее возможных значений помножить на соответствующую ему вероятность и сложить между собой все полученные произведения.
Какую пользу может сослужить нам знание среднего значения случайной величины? Чтобы ответить на этот вопрос более убедительно, рассмотрим сначала несколько примеров.
Пример 1. Вернемся еще раз к нашим двум стрелкам; выбиваемые ими числа очков являются случайными величинами, законы распределения которых даются таблицами (I) для первого стрелка и (И) — для второго (стр. 77 и 78). Один внимательный взгляд на эти две таблицы уже показывает нам, что первый стреляет лучше второго; в самом деле, вероятность самого лучшего результата (3 очка) у него значительно больше, чем у второго стрелка, в то время как вероятности более плохих результатов, напротив, у второго стрелка больше, чем у первого. Однако такое сравнение не удовлетворяет нас — оно носит чисто ка-
§ 20] СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
83
чественный характер, при нем мы не видим еще той мерки, того числа, которое своей величиной прямо оценивало бы качество стрельбы того или другого стрелка, подобно тому как температура, например, прямо оценивает степень нагретости физического тела. Не имея такой оценивающей мерки, мы можем всегда стать перед случаем, когда непосредственное рассмотрение не даст нам никакого ответа или когда этот ответ может оказаться спорным. Так, если бы вместо таблиц (1) и (II) мы имели таблицы
1 2 3
0,4 0,1 0.5
00
1 2 3
0,1 0,6 0,3
(НО
((Г) — для первого стрелка, (1Г) — для второго), то трудно было бы одним взглядом на эти таблицы решить, который из двух стрелков стреляет лучше; правда, лучший результат (3 очка) у первого более вероятен, чем у второго; но вместе с тем и самый худший результат (I очко) у первого также более вероятен, чем у второго; напротив, результат 2 очка у второго более вероятен, чем у первого.
Составим теперь по указанному выше правилу среднее значение числа очков для каждого из наших двух стрелков:
1) для первого стрелка:
1 -0,4 + 2 -0,1 + 3-0,5 = 2,1;
2) для второго стрелка:
1 -0,1 +2 -0,6 + 3 -0,3 = 2,2.
Мы видим, что второй стрелок дает в среднем несколько большее число очков, чем первый; практически это значит, что при многократной стрельбе второй стрелок будет, вообще говоря, давать несколько лучший результат, чем первый. Теперь мы с уверенностью скажем, что второй стрелок стреляет лучше; среднее значение числа выбиваемых очков дало нам удобную мерку, с помощью которой мы можем легко и не
6*
Ч'
84
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
[ГЛ. 8
оставляющим никаких сомнений способом сравнивать между собой искусство различных стрелков.
Пример 2. При сборке точного прибора для наиболее точной подгонкн некоторой детали может потребоваться, в зависимости от удачи, 1, 2, 3, 4 или
5 проб. Таким образом, число х проб, необходимых для достижения удовлетворительной сборки, есть случайная величина с возможными значениями I, 2, 3, 4, 5; пусть вероятности этих значении даются таблицей
1 2 3 4 5
0,07 0,13 0,55 0,21 0,01
Мы можем быть поставлены перед задачей снабдить данного сборщика таким числом деталей, какое необходимо для 20 приборов*). Чтобы иметь возможность ориентировочно оценить это число, мы не можем непосредственно использовать данную таблицу-—она учит нас только тому, что в разных случаях бывает по-разному. Но если мы найдем среднее значение х числа х проб, необходимых для одного прибора, и умножим это среднее значение на 20, то мы и получим, очевидно, ориентировочное значение искомого числа. Мы находим:
