Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Решение уравнений (6.57) с начальными условиями q% 1,2 = = <7м,2 = 0 таково*):
УвЯ е (е. v) ( ( nVGSyt \ 1
Яи = —Гл-/ 2/ ач 2-ГГT I C0S I-C0S J — C0S M Г ¦
па>1( \ —\v Ic ) п cos 0А) \ с / J
•\/8я е (Єї v) ( (nvaxt \ nv ")
q%2=-27--/ 2! 2\ 2-271 1 sinI - cOS^ J--c0se^ sinffl^ f •
nax (1 — (v /с ; n cos \ с / с )
(6.59)
где 0a, — угол между k^, и v.
Подставляя (6.59) в (6.16) и переходя от суммирования к ин-тегрированию (см. (6.27)), получаем
8пе2у2 (2я с)3
2л л/2 ®п
Ґ9іг/Л3 X
У f H f HPt [ і п Sin2G (1+(о2/с2) пг COSa 6) [I-COS (1-(о/с) «cos 8) fl><] ,
Х J o<p J а0 J I (1 + (v/c) п cos Є)2 (1 - (v/c) n cos Є)2 h
ООО
I n Sin2 9 sin (at) sin ((v/c) n cos 9 at) t „,„ Q +-(1 +(*/*)„ cos Є)»-J sln 9 (6'6°)
Здесь учтено, ЧТО (vejy)2 + (vea,2)2 = v2 sin2 0? as v2 sin2 9, или, что эквивалентно, вектор поляризации ем можно выбрать лежащим в плоскости, определяемой векторами V и kv Очевидно, излучение поляризовано в этой плоскости (т. е. в ней лежит электрический вектор волны). Второй член в (6.60) не дает нарастающих со временем решений, первый же при больших і носит
*) Разумеется, для получения черепковского излучения при больших t характер начальных условий несуществен, а выбранные начальные условия лишь проще других.
121 характер 6-функции (см. (1.84)). Поэтому в результате интегрирования по 0 с применением формулы (1.84) легко получить формулу Тамма — Франка [43] для мощности черенковского излучения (проведено также тривиальное интегрирование по ср)
dZStr dw с2 \ , e2v f . 20 , /с сп
~dt~ s ~dF ~ "с2" JV vWjair) ю c^co — J S oCO (6'61)
(интегрирование здесь производится по области vn(со) /с ^ 1).
Если речь идет об излучении на пути L, то в (6.61) нужно, очевидно, заменить v (путь, проходимый в единицу времени) на L.
Дисперсия в (6.61) учтена в результате того, что положено п = п((л), об основаниях для такого приема речь была выше. Даже в изотропной среде приведенный расчет весьма прост и в этом смысле может конкурировать с другими способами [43, 44]. В анизотропной же среде гамильтоновский метод (разложение по нормальным волнам) представляется нам самым простым. Нужно иметь в виду, что роль показателя преломления я (со) играют в данном случае показатели «;(ш, 0, ф) и при интегрировании в выражении типа (6.60) по углам это обстоятельство нужно, конечно, учитывать (в работе [96] оно не было учтено, что и привело к ошибке; правильные выражения для мощности черенковского излучения в кристаллах см. в [89]).
В качестве следующей весьма важной иллюстрации роли среды в теории излучения остановимся на эффекте Доплера при движении источника со скоростью V в среде с показателем преломления п((х>). Приведем сразу же результат — обобщение формул (4.5) и (4.11):
. f А\ _ Юоо Vl — V2Zc2 _COo__/fi
У> I 1 - (v/c) п (CO) COS 6 I I 1 - (VjC) п (со) cose I ' 1 '
где CO0O — частота в «собственной» системе отсчета излучателя (в этой системе скорость центра тяжести излучателя у = 0), соо — частота излучателя в лабораторной системе (скажем, частота внешнего электрического поля в ондуляторе) и, как обычно у нас, 0 — угол между v и к.
К (6.62) приходим, во-первых, по общему правилу перехода от теории излучения в вакууме к теории излучения в среде — путем замены в (4.5) и (4.11):
sasTfer (6-63)
Разумеется, в анизотропной среде роль п(со) играет tn(со, G, ф). Замена (6.63) все же не может выполняться совершенно автоматически — достаточно сказать, что в случае (4.5) ее нужно производить в знаменателе, но не в числителе; в числителе (6.62) по-прежнему стоит Vl — 0Vc2 • Это, разумеется, вполне понятно, так как переход от ©оо к со0 в (6.62) связан с реляти-
122 вистским изменением хода времени, значение же знаменателя определяется перемещением излучателя, и его мы вполне последовательно получаем из выражения для поля излучения. Каким бы методом ни работать (см., например, (6.22)) в выражениях для потенциалов (а значит, и для полей) появляются фазовые множители типа ехр [г (kr — kr,— со0/)]; для излучателя в дипольном приближении Ti = vt и, следовательно, появляется частота со = со0 + kv = со0 + (а>/с)/г (со) cos 8, откуда и приходим к (6.62). Другой вывод этой формулы, основанный на использовании законов сохранения, приведем в гл. 7.
Отметим важную особенность формулы (6.62) —¦ наличие в ее знаменателе модуля [97], что существенно при движении СО «сверхсветовой» скоростью v > Уф = с/п (см. условие (6.55)). То обстоятельство, что в (6.62) при
J п (со) COS 6 > 1 (6.64)
нужно брать знаменатель по модулю, ясно уже из необходимости получить положительное значение для частоты со. Область углов, удовлетворяющих условию (6.64), называется областью аномального или «сверхсветового» эффекта Доплера. Разумеется, эта область существует лишь при сверхсветовых скоростях (6.55). Если же
у га (со) cos 0 < 1, (6.65)
то мы имеем дело с нормальным (обычным) эффектом Доплера. Области нормального и аномального эффекта Доплера разделены черенковским конусом (рис. 6.2). Фактически эффект Доплера в среде довольно сложен [97], поскольку нужно учитывать дисперсию — зависимость п от со. Ограничимся здесь замечанием, что при пренебрежении дисперсией, на самом черенковском конусе, когда (y/c)«cos0=l (см. (6.56)), частота со (8 = 0о) обращалась бы в бесконечность. Фактически же при CO-^oo показатель преломления га(со)->1 и строго на черенковском конусе вообще нет излучения (считаем, что V < с, и черенковское излучение сейчас не рассматриваем). Тенденция же— рост частоты при приближении угла 0 к 0О =arccos (с/я(ш) у), конечно, сохраняется и при учете дисперсии.
