Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
+ = = ^=cIexP040 + с2exP(-КО'- (6-24)
отсюда очевидно, что разложение (6.15), в отсутствие зарядов и токов, есть разложение по плоским волнам типа
ехрJ^f (k^r ± Tf^a/)]' т- е- волнам, распространяющимся с фазовой скоростью (6.23).
Для свободного поля излучения в среде функция Гамильтона имеет вид (6.16) и квантование проводится так же, как в вакууме (последнее, впрочем, относится и к поперечному ПОЛЮ в среде при наличии токов и зарядов — квантование отвечает замене Pu и qu операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям (1.45)). В результате при разложении свободного поля в среде по волнам типа ехр(± ik^r) (см. (6.15)) приходим к понятию о «фотонах в среде», обладающих энергией Ex И импульсом рА,
йлл п
(6.25)
В отношении энергии этот вывод очевиден (см. (1.43), (1.49) и (6.16)). В случае импульса нужно было бы найти собственное значение оператора импульса электромагнитного поля, но соответствующее выражение долгое время писали в разных
109 формах, причем шла дискуссия о том, какая из них правильна (речь идет о тензорах энергии — импульса Минковского и Аб-рагама). В настоящее время этот вопрос в достаточной мере выяснен и будет освещен в гл. 13. К счастью, его решение (требующее во всяком случае специального рассмотрения) не нужно для решения задач, возникающих обычно в квантовой теории излучения в среде [77]. Дело в том, что при вычислении матричных элементов перехода, определяющих вероятность тех или иных радиационных процессов, оператор векторного потенциала вносит, очевидно, множители типа ^ ехр (ik^r); эти множители фигурируют наряду с множителями, отвечающими волновым функциям частицы, т. е. для свободных частиц с множителями exp(;'pr/ft). Отсюда ясно, что в законах сохранения импульса излучение в среде, как и в вакууме, вносит вклад, равный Рік),. В среде, как мы видели, Pik% = h®\n/с, что и приводит к (6.25). Таким образом, совершенно независимо от анализа вопроса о виде тензора энергии — импульса в среде ясно, что «фотоны в среде», фигурирующие в общем на тех же основаниях, что и фотоны в вакууме, имеют энергию Piсо и импульс Pmri/с (несколько подробнее см. [78]; речь выше шла об изотропной среде, но обобщение на случай анизотропной среды также очевидно — в этом случае п = щ представляет собой показатель преломления для соответствующей «нормальной» волны; см. ниже)*). Использование квантовых представлений или, точнее, квантового языка оказывается довольно удобным при решении целого ряда вопросов теории излучения в среде. Об этом еще пойдет речь в гл. 7.
Сейчас же используем гамильтоновский метод (т. е. по сути дела разложение по плоским волнам) для решения ряда задач теории излучения в среде.
Начнем с излучения осциллятора в дипольном приближении, рассмотренного в случае вакуума в гл. 1. Полагая в (6.21)
f; = r (/) = а0 sin CO01, V = г (t) = V0 cos со0/ = а0с00 cos co0t>
1 _ X _ с а° ^ k ~~ 2я — WO0 '
где X = 2пс/тло —¦ длина волны испускаемого осциллятором излучения, получаем уравнение (см. (1.80))
яи + aiciu = vs^ "J (cjlv0) cos CO0/. (6.26)
*) Здесь речь непосредственно идет о бесконечной среде, подобно тому, как при квантовании поля в вакууме (см. гл. 1) мы имели в виду все пространство. Вместе с тем достаточно очевидно, что аналогичным образом можно поступать и в случае поля в волноводах, в частности заполненных' какой-либо прозрачной средой. Роль плоских волн типа (1.19) или (1.53) будут играть при этом собственные функции (моды), отвечающие решению задачи о свободном электромагнитном поле в рассматриваемом волноводе (см., например, [79], где проводится квантование поля в пустом волноводе с прямоугольным сечением и идеально отражающими стенками).
110 Все дальнейшие вычисления также производятся вполне аналогично случаю вакуума, но число состояний теперь равно
k2 dk du rtW rfco dQ
(2я)3 (2 яс)3
(6.27)
и в результате *)
dZ6tr Ж,. d.W. ЛМ/і
tr " - s 00 SinZQdQ. (6.28)
dt t dt 8я с3
Единственное отличие от формулы (1.85) для вакуума состоит здесь в появлении множителя п (в (6.27) стоит по сравнению со случаем вакуума дополнительный множитель я3, но, как ясно из (6.26), значение q\ будет содержать дополнительный множитель 1 /п2). При учете частотной дисперсии нужно положить п = п(too). Это заключение можно обосновать, во-первых, несколько косвенным образом, а именно, сравнивая результаты, полученные гамильтоновским методом и другими методами. Во-вторых, если є = є(со), то уравнения поля можно записать в прежней форме, скажем, (6.11) или (6.12), но считать є таким оператором є, что є ехр (—iat) = є (со) ехр (—tcot). Далее, до интегрирования уравнений (6.18), (6.19), в них фи-гурирует волновой вектор кь и можно считать, что n = n(k%), (?>i = ckx/n(kk). Только для поля излучения частота со = со^ = = ck/n, т. е. со и k связаны обычным дисперсионным соотношением. К излучению же мы переходим лишь в самом конце, вычисляя энергию cf? tr при больших t (см. гл. 1 и (6.28)). Поэтому-то, как можно проследить (см. § 25 в [83] и [80—82]), учет частотной дисперсии должен производиться в окончательных выражениях.
