Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для анизотропной среды после введения потенциалов (6.8) уравнения поля принимают вид
а» 1 в JA ...» , 4я . )
Ак~-Т~дГ?-дГ-graddivA-7-^-egradcp = -— j, j
div (є grad ф + 7-57-) = —4лр. j
Из (6.37) очевидно, что ни калибровка типа (6.10), т. е. калибровка div А -f- (1/с) (deq/dt) = 0, ни калибровка div А = 0 не вносят никаких упрощений, и поэтому хорошо разработанные методы интегрирования уравнения Д'Аламбера (волнового уравнения) неприменимы. К тому же нужно добавить, что релятивистски ковариантная форма записи (стремление сохранить ее приводит в случае вакуума к особенно широкому использованию лорентцевой калибровки дА1 Jdxi = 0; см. (1.7а)) при наличии среды значительно менее существенна. Дело в том, что в подавляющем большинстве случаев среда считается (и действительно является) покоящейся в лабораторной системе отсчета. Тогда система отсчета, связанная со средой, физически явно выделена и как раз в ней естественно работать.
д
Мы применим калибровку -^-diveA = 0 или для случая (6.36) и пренебрежения дисперсией положим
div C = 0, С = єА, Cl = SlAu C2 = S2A2, C3 = B3A3. (6.38) Тогда уравнения (6.37) принимают вид AA--Ir - grad div А — ~ ~ (є grad ф) =
с2 dt2 ~ с dt
4jt с
(г-г, (/)), (6.39) і
div (є grad ф) = — 4л 2 ег6 (г — Vi (/)), (6.40)
г
где для определенности рассматриваются точечные заряды ег (радиус-вектор заряда r,-(/) = {х{, yt, г,-}, причем n = Уг).
Уравнение (6.40) имеет такой же вид, как в электростатике, и его решение записывается следующим образом:
ф = У —.— (6.41)
Г V81^3 V(* - xifh + {у ~ Уі)2/е2 + (z -
ii6 Легко показать также, что энергия поля во всем пространстве (при условии, что само поле должным образом убывает на бесконечности) равна
Ч = I (ED + H2)dV = Sgir + Жи
°ч = Ж" S ^ grad ф) grad ф dV-
(6.42)
Здесь
Жі = І S (Єі If +
-V.Z
<?2Ф , 02ф
®2 + Бз
) dV :
-Jj Vw3 V(*<-*/)7ei + (Уі-Уі)2/е2 + (гі-гі)2/гз
(6.43)
представляет собой сумму энергий мгновенного кулоновского взаимодействия зарядов (собственную энергию зарядов не учитываем). Энергия Ши есть аналог энергии поперечного поля и может быть записана также в виде
= VtrjW dv + M <rot aW 1
D
ir ¦
е (ЗА с dt
дС
(6.44)
div D,
0.
dt ' ^ir Произведем теперь разложения в ряды
A=EtobiMAw (Г) + qh(t)A.h (г)],
x, і
C = eA=Z [qu (t) Си (г) + qh (t) Ch (г)],
к, і
А и = V4n caU ехр(г'к^г), Сц = У4я сЪи ехр (ZkxT),
J
(6.45)
где индекс /= 1, 2 отвечает двум возможным поляризациям нормальных волн в анизотропной среде без пространственной тисперсии (в условиях (6.36) эта поляризация линейна). В силу первого соотношения (6.38) имеем (b;ukO = 0, и можно положить (ЬмЬад) = 0; поэтому из (6.38) и (6.45) получаем
MaW — і + аи. 2 + є3%г. з = 0, )
- - Г, Г (6.46а)
Кроме того, наложим на а и еще два условия (суммирование по дважды встречающемуся индексу I — 1, 2 не производится)
г&иЧі = 1, ЁаА1аА,2 = 0. (6.466)
117 Первое из этих условий есть условие нормировки, второе же отвечает выбору поляризации, соответствующей нормальным волнам; как ясно из (6.46), векторы к^, и Ьи компланарны (соответственно при I= 1 и при 1 = 2).
Подставим теперь (6.45) в (6.39); тогда после умножения на Ац , учета соотношений (6.46) и условия нормировки
^ kuKmdV = Anc2 (6.47)
получаем (несколько подробнее см. [80])
Яи + аиЯи = V^ E ег (v,aw) ехр (- ikAг,), (6.48)
,2 2 2 _ k^ 0W — 2 nu
= [MxJ ^ = - (Мы)'} ^ (6.49)
Таким образом, уравнение для осцилляторов поля (6.48) получается по форме таким же, как в вакууме, и все отличие заключено в выражении (6.49) для частот соя/ и соотношениях (6.46) для векторов поляризации а«.
Мы уже упоминали, что речь идет о разложении по нормальным волнам, и приведенные соотношения для cow и a%i как раз и представляют собой уравнения, определяющие связь со с к и поляризацию для нормальных волн. Точнее, в отсутствие зарядов, когда рассматриваются однородные уравнения поля, как очевидно из (6.48), со2 = сої*, и тогда (6.49) есть дисперсионное уравнение (уравнение Френеля), связывающее соi = kc/tii с к в нормальных волнах (очевидно, щ = ck/&i — показатель преломления; подробнее см. [76] и гл. 11).
Легко показать (см. (6.44), (6.45), (6.47) и др.), что в переменных qu
^tr = {РиРи + a2Mh), Pu = Я и- (6-5°)
Дальнейшие расчеты при решении задач об излучении зарядов производятся так же, как для вакуума или изотропной среды. Например для осциллятора в дипольном приближении вместо (6.26) получаем
Я и + aItfxi в V4it е (а и v0) cos со/ (6.51)
Дальнейший расчет проводится, как и для изотропной среды, но
fe2 dk dQ, rfiCO2 da dQ
(2я)3 (2Л С)3
В результате получим
(6.52)
Vtnl _dWtil eV0(a;a0)2п\
ЧГ~^~1Г =-l=i'2' (6-53)
118 где, как и везде выше, щ = tii (со, 0, ср), т. е. зависит не только от частоты, но и от направления — фактически от ориентации волнового вектора к относительно осей симметрии среды (в случае (6.36) при различных єі, єг и єз этими осями являются оси x, у, г). От направления и частоты, не говоря уже о типе волны (индекс I = 1, 2), зависят также векторы поляризации а/ = = а;(со, 0, ф). В изотропной среде aw = ew/Vе—ew/n и один из векторов ew можно считать ортогональным к а0, и тогда (6.53) переходит в (6.28). Результат (6.53) очень естественен — осциллятор «накачивает» излучение в каждую из нормальных волн, причем интенсивность накачки пропорциональна (а^ао)2, т. е. квадрату проекции амплитуды а0 на вектор поляризации (электрический вектор) в соответствующей волне.
