Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Сила магнитного поля в плане учета нелинейности определяется в первую очередь его отношением к характерному полю
^ = iSr = 4'4'1013 Гс (6-79)
или в случае электрического поля к полю Ec — Bc (напомним, что в настоящей книге используется исключительно гауссова си-
128 стема единиц, в которой все поля Е, В, D и H обладают одинаковой размерностью, как ясно, в частности, из уравнений поля (6.1); в этой связи совпадение значений Ec и Bc не должно вызывать удивления).
Магнитное поле мы здесь описываем его индукцией В, поскольку вакуум обладает и магнитными свойствами, в силу чего напряженность магнитного поля H отлична от В. В то же время именно В, а не Н, является основной величиной, характеризующей магнитное поле в вакууме.
Поле может считаться слабым, если
В < Bc, E < Ec. (6.80)
Для сильного поля величина В (или E) сравнима либо превосходит Bc (или Ec).
Ниже будем считать поле слабым, но все же не очень слабым, так что поправки порядка (BfBc)2 и (EfEc)2 нужно учитывать. Точнее, даже малые члены такого порядка существенны тогда, когда определяют рассматриваемые эффекты (например, двоякопреломление) и в этом смысле не являются собственно поправками. Для слабого статического электромагнитного поля рассматривать нелинейные эффекты проще всего, по-видимому, используя функцию Лагранжа для электромагнитного поля с учетом членов порядка Ei и Bi или, другими словами, с учетом поправок (по сравнению с линейным случаем) порядка (BfBc)2 и (EfEc)2. Соответствующая функция Лагранжа или, точнее, ее плотность имеет вид (см. [9], § 129)
L = L0 +Lf, L0 = -^(E2-B2),
Z/=4*{(?2-?2)2 + 7(EB)2}, (681)
_ 1 et ^ 1,3-10-4 — 4л 45B2 ~ B2 ' ~~ he ~ 137
Лагранжиан L0 отвечает линейной электродинамике вакуума, а нелинейность учитывается членом Z/; при этом предполагается, что соблюдается условие (6.80). Поскольку отношение L fL0 ~ 10~4(?/?c)2 и аналогично при наличии поля Е, малость нелинейности вакуума в обычных условиях очевидна. Например, в лабораторных условиях В .<; IO6 Гс и, следовательно, L'/L0 с< 10~19. В атоме водорода на расстоянии воровского радиуса Qo = h2fme ft 5- IO-9 см от протона электрическое поле E = е/а2 ft 2 • 107ft6 • IO9 В/см и L'/L0 ~ IO"4 (EfEc)2 ~ ~ Ю-17. Но для пульсаров поле может достигать значения IO13 Гс, когда L'/Lo ~ 10~5. Вблизи поверхности ядра урана E ~ eZfr2 ~ 5 - 10I6(Z = 92, г ~ Ю-12 см) и поле является уже сильным.
5 В. Л. Гинзбург
129 Поляризация и намагничение вакуума имеют вид P = ~ = и (2 (E2 - ?2) E + 7 (ЕВ) В},
<ЭЕ
2 (E2-B2)B + 7 (ЕВ) Е}.
(6.82)
Поскольку P и SOl зависят от E и В нелинейным образом, можно вводить разные тензоры проницаемости. Ограничимся здесь частным случаем, когда
В = B0+ Bb E = E1, B1CB0, E1CB0, (6.83)
т. е. имеется слабое (в смысле соблюдения условия (6.80)) магнитное поле Во, на которое наложено очень слабое электромагнитное йоле Ei, Bi; термин «очень слабое поле» понимается здесь в том смысле, что это поле можно рассматривать в линейном приближении. Конкретно речь может идти, например, о распространении некоторой достаточно мало интенсивной электромагнитной волны (поле Ej, B1) в постоянном и однородном магнитном поле B0. Тогда
p = p1 = x {_ 2BoEi + 7 (EiB0) В0}, {
9 ™ / о ((6-84)
SOt = SOt0 + ши aJt0 = 2*?0B0, SOli = 2% {?0Bi + 2 (B0Bi) В0} )
и удобно ввести тензоры проницаемости для очень слабого поля
Є/у ==бг/ + бєг/, Ulf = бг/ 4- бцг/,
бе,
0^i/
В,
(6.85)
Здесь нужно заметить, что, согласно обычному определению, Ttlll = -^Hlth Н1 = В,-4яЯ)1,.
Однако нас интересует лишь случай, когда
|0Є//|< 1, |0ц(7К 1. (6.86)
В таких условиях в (6.85) действительно можно написать В вместо Нь Считая для удобства, что поле B0 направлено по оси г, согласно (6.84) и (6.85) имеем
бе**=0еш, s be=-SnvMl=
2а В]
45я В
=еуу^е=1+8е>
бєгг = Og = 20шВо :
5а B1
о
45it Bi
Szz = 6=1+ 6Ё,
ба
8^UU — 6^ = 8jw?0 = — 8е> ^xx = ^uu — V == 1 + 0V"
бцгг = 6(1 = 24тВо
6а В;
о
Vzz = Д = 1 + бр,
(6.87)
45л в;
(все компоненты 8єі/ и б ці/, кроме выписанных, равны нулю). »30 Таким образом, можно считать, что очень слабое поле (поле волны) Ei, Bi действует (распространяется) в «среде» (вакууме) с проницаемостями (6.87). Эта «среда» анизотропна, что обусловлено наличием выделенного направления — направления поля B0, и является одновременно и диэлектрической (oetj ф 0) и магнитной (бц,7=т^0). В случае распространения плоской волны
Ei = Eli0e1' <kr-°">, B1 = Blloe'<kr-arf), (6.88а)
очевидно, поле волны подчиняется обычным уравнениям Максвелла (уравнениям линейной электродинамики в среде)
ZijEij = ЬН,](> Blil- = ^fkE1],, Bui = HilHut (6.886)
(І и / — векторные индексы; разумеется, уравнения (6.886) справедливы и для амплитуд Eli0 и Bji0).
Подставляя в (6.886) тензоры (6.85), (6.87), получаем дисперсионное уравнение, связывающее ш с к. Из этого уравнения находим показатель преломления «(0) = ck/a>, где 0 — угол между к и B0 (имеем здесь в виду конкретный случай, которому отвечают тензоры (6.87)). Нормальные волны поляризованы (речь идет о направлении векторов Eii0) соответственно перпендикулярно Во и в плоскости к, Во, причем направление Во (ось z) является оптической осью. Для этого направления показатель преломления, как легко убедиться, равен (см. также (6.86))
