Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
д) Если математические ожидания | и а| имеют смысл, а — измеримая случайная величина, то
М{аШ} = <*М{Ш}. (9)
В силу б) при доказательстве можно ограничиться предположением, что ь > 0 и а > 0.
Для дискретных а и I равенство (9) было установлено ранее, хотя и записывалось в другой, но эквивалентной форме (4). В общем случае построим монотонно возрастающую последовательность неотрицательных дискретных случайных величин сходящуюся к g при каждом со, и монотонно возрастающую последовательность g-измеримых неотрицательных дискретных случайных величин ап, сходящуюся к а, подставим в (9) а=ап.
| = gm и -перейдем к пределу, положив сначала пг-* оо, а за-
тем п —> оо. Используя г), получим требуемое. В Следствие. Если F ej, то
Р{АПЛЗ} = х(ЛРМ!3}. (10)
Повторное применение операции вычисления условного математического ожидания обладает важным и часто применяемым свойством «поглощения».
Теорема 2. Если 3?i с: g2. то
Доказательство. Из е 8?i следует Feg2, и поэтому
5M{M{EI&}|8,}dP= $М{Ш2}</р= \ldP=
УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
119
Сопоставляя крайние части полученных равенств, получим требуемое. Заметим, что равенство M{M{||gi} |$Ы = M{||Si} /gcS2) тривиально. Действительно, величина !V!{?|Si} §1-, а тем более и ^-измерима. Написанное равенство тогда вытекает из а). В
Пусть рассматривается некоторый эксперимент, описываемый случайным элементом ?, ? = g(co), со значениями в {X, 9}. Условное математическое ожидание М{?|?} случайной величины | относительно случайного элемента ?—это то среднее значение которое оно имеет при фиксированном значении ?. В соответствии с предыдущими рассуждениями примем следующее
Определение. М{?|?}= М{?|5е}, где Ъх, — а-алгебра,
порожденная случайным элементом ?.
Если исходить из первоначального определения условного математического ожидания, то это определение эквивалентно следующему:
М{?|?} является -измеримой случайной величиной, удовлетворяющей при любом соотношению
5 M{Sl?}dP= S tdP. (11)
g-1 (В) г-1 (В)
Теорема 3. Условное математическое ожидание М{Ш является 9-измеримой функцией от ?, т. е. найдется такая 9-измеримая действительная функция h(x), х е X, что М{?|?} = = й(?) и VBeS
^h(x)Pg~1(dx) = ^ IdP.
в g~! (В)
Первая часть утверждения вытекает из теоремы 5 § 1, а вторая— из правила замены переменных (теорема 12 § 1). Ц
Отметим следующие свойства условных математических ожиданий относительно случайных величин, непосредственно вытекающие из предыдущего:
е) Если ? = h(t), где h(x)—9-измеримая функция, то
г.
ж) Если — случайные элементы в {Х{, 9*}, i = 1, 2V
(?ь ?2)—их прямое произведение, то М{МШ(?ь b)}|Ci} =
Утверждение е) следует из д), ж)—из теоремы 2.
Регулярные условные вероятности. Положим Р { A j 23} —
= Р5(Л, со). При каждом Ае@ условная вероятность Р® (Л, со)-°пределена однозначно, но только с вероятностью 1.
Определение. Если существует функция р(А, со), Ле ^ ®, ш е Q, такая, что
120
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. II
а) почти для всех со р(А, ш), как функция от множества А, является вероятностной мерой,
б) при фиксированном А р{А, со) ^-измерима и
р (А, со) = Р° (А, со) (mod Р),
то р(А, со) называют регулярной условной вероятностью.
Можно привести примеры, когда регулярные условные вероятности не существуют. Если же они существуют, то условные математические ожидания выражаются через них с помощью интегрирования.
Теорема 4. Если р (А, со) = Ptf (Л, со) — регулярная условная вероятность, то
М{Ш} = $ f(cD')P(rfCD',CD). (12)
Доказательство. Класс случайных величин §, для которых эта формула справедлива, линеен, замкнут относительно предельного перехода по монотонно возрастающим последовательностям неотрицательных случайных величин (в силу теоремы
об интегрировании монотонных последовательностей) и содержит индикаторы %(А), А е @. Отсюда формула (12) следует для всех I, для которых конечно. В
Поскольку регулярные условные распределения не всегда существуют, введем видоизменение этого понятия, достаточное для решения ряда задач, возникающих в приложениях.
Пусть {X, 0}—измеримое пространство, ? — случайный элемент в {X, S3), g — сг-алгебра, ^С0.
Определение. Если существует функция Q(B, со), определенная на S3 X й и такая, что
а) при фиксированном Ве?3 Q{B, со) §-измерима,
б) с вероятностью 1 Q(B, со) при фиксированном со является вероятностной мерой на 0,
в) при каждом Йе5Э Q(B, со) = Р{(? <= 0) |g} (mod Р), то Q(B, со) называют регулярным условным распределением случайного элемента ? относительно а-алгебры %.
