Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
p{x)^0 (mod Р), (x)q(dx)=l.
х
Если распределение обладает плотностью, то математическое ожидание величины \ = /(?) можно вычислить по формуле
Ml=\f{x)p{x)q(dx). (17)
х
104 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ. II
Пространство &р. Класс случайных величин для которых
М|?|р<оо (р>0), обозначим через ?Pp = g?p(Q,Q,P). Этот класс линеен: если (г'=1,2), то и &-f i2 е ^
Первое из этих утверждений очевидно, а второе при р ^ 1 вытекает из неравенства Минковского (13), при ре(0, 1) — из неравенства
l&i + !2lp<lgil/’ + l (0 < р < 1), (18)
следующего из того, что (1 + х)р < 1 -f хр (х > 0, 0 < р < 1). Если в 3?р (р ^ 1) ввести норму
111Ир= (мцп"р",
то оно будет полным линейным нормированным пространством. Сходимость в 3?р последовательности к пределу | означает.. что
М|?— |„|р—*0 при и-> оо.
Из полноты пространства 3?Р следует, что для сходимости последовательности необходимо и достаточно выполнение условия Коши:
М|Г’-*0 ПРИ
Последовательность случайных величин, удовлетворяющая этому условию, называется фундаментальной в 3?р. Из фундаментальности (а следовательно, и сходимости) в 3?р следует фундаментальность (сходимость) по вероятности. Это вытекает из неравенства Чебышева
р{1^-У>е}«9гм1ь,,-1,,,Г
Равномерная интегрируемость. Семейство случайных величин {|(0> t е Т) (Т — некоторое множество) называют равномерно интегрируемым, если для любого е > 0 можно указать такое N — N(e), не зависящее от i, что
Мх({1Ш1>Л0)|?(01<е Vtt=T.
В следующем утверждении указываются свойства, эквивалентные равномерной интегрируемости.
Теорема 14. Семейство {|(0, t е Т) равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда
а) М ||(0 1< С Vte=T;
б) для любого е > 0 найдется 6 > 0, не зависящее от t, такое, что для всякогр измеримого А, для которого Р(Л)<6> имеем МхИ)|6(0|Че.
Заметим, что одна или конечное число интегрируемых случайных величин образуют равномерно интегрируемое семейство
*2]
ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
105
и если объединить два или конечное число равномерно интегрируемых семейств, то снова получится равномерно интегрируемое семейство.
Следующие признаки равномерной интегрируемости бывают полезными в конкретных случаях.
Теорема 15. а) Если семейство {?(/)> ^sT} мажорируется интегрируемой случайной величиной т) (!§(<)! ^ л (mod Р), Mr] < со), то оно равномерно интегрируемо.
б) Пусть g(x), хе(—оо, оо), — неотрицательная борелев-ская функция такая, что g(x)jx-+oо при J л: | —> оо, и
м g(mxc Vt<=Ty
где с не зависит от t. Тогда семейство {?(/), / еГ} равномерно интегрируемо.
С помощью понятия равномерной интегрируемости легко сформулировать критерий сходимости в 3?\.
Теорема 16. Для того чтобы последовательность {|„, /г= = 1, 2, .. .} сходилась в 2?\, необходимо и достаточно, чтобы она сходилась по вероятности к некоторому пределу и была равномерно интегрируемой.
Аналогично формулируется критерий сходимости в З’р (p^s 1). Вместо равномерной интегрируемости самой последовательности In в этом случае следует потребовать равномерную интегрируемость {|in|p, п— 1,2, ...}. По поводу доказательств сформулированных утверждений см. А. Н. Колмогоров и ¦С. В. Фомин [1], Ж- Невё (1], П. Л. Хеннекен и А. Тортра [1].
§ 2. Построение вероятностных пространств
Вероятностное пространство является довольно сложным математическим объектом, и во многих задачах его нельзя считать первоначально заданным. Поэтому важно уметь конструировать вероятностные пространства. В наиболее простых случаях нужно построить конечномерное вероятностное пространство по заданной функции распределения. Рассмотрим сначала некоторые свойства функций распределения.
Функции распределения. Пусть | — случайный вектор со значениями в 52й, | = (§‘, §2, ..., ld), где его компоненты. Положим
F (х) = F (х\ х?...xd) = Р {I1 < х1, < х*....\d < xd).
Определение. Функция F(х) называется функцией распределения случайного вектора | (или совместной функцией распределения случайных величин g1, g2, ..., %d).
106 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ. II
Пусть a, b<^&d, а—(а1, ad), b—(b\ ..., bd). Условимся писать а ^ b (а <Ь), если ah ^ bh (ah < bh) для всех k=\ ,...,d.
Назовем множество I [а, Ь) = {х\ а «с; х < Ь} d-мерным интервалом (интервалом в 52d). Аналогично определяются замкнутые интервалы I [а, Ь] = {х: а ^ х ^ Ь} и открытые интервалы I(а, Ь) = {х: а < х < Ь}. Нетрудно выразить вероятность попадания случайного вектора ? в d-мерный интервал через функцию распределения. С этой целью положим (t < s)
A[f, S)f (xl, X2, ..., Xd) = f(x\ X-, ..., xk~\ s, xk + l, ..., xd) —
— f (xl...xk~\ i, xk+l, .. ., xd).
