Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно,
Ар, S)F (x) = p{ П {I1 <x,}{]{t<t<s}\
1Ф к '
и нетрудно убедиться, что
F (/ [а, Ь)) = А\аК 41)ДЦ ь2) ... Afa, bd)F (х) = Р (? е / [а, Ъ)). (1)
Теорема 1. Функция распределения F(x) обладает следующими свойствами:
а) 0 ^ F(x)^ 1;
б) если х ^ у, то F (х) ^ F(y)\
В) A|ai; Ь')^[а2, Ь2) ¦¦¦ ^[ad, bd) F М ^ 0 длЯ л}°бЫХ а^Ь\ '
г) функция F (х) непрерывна слева, т. е. F (х — 0) — F (х);
д) F(x)-+0,ecAU minxk—> — оо, и F(x)-+ 1, если minxk->- +00.
k k
Доказательство, а) — очевидно. Если х^.у, то F (у) — F(x) = = Р({| < ?/} \ {I < х}), откуда следует б), в) вытекает из (1). Пусть хп^хп+1^.х и limxn = x. События Ап = {? ^х) \ {? < хп)
со
образуют монотонно убывающую последовательность, и П Л„=0.
П= 1
Поэтому (см. (6) § 1) F (х) — F {хп) = Р (Л„) -> 0 при /г—* оо, что доказывает г). Далее, если minx*-»- — 00, то существует такое j,
k
что х*п > — оо. Положим zn = sup {х^, k = n, n -f 1, ...}, тогда
oo
zn —> — 00, zn монотонно не возрастает и f) it1 < zn) = 0• По-
п=1
этому /'(xJ^Pfg7 < zn}-»-0. Аналогично доказывается вторая часть утверждения д) (следует заметить, что 1—F{x) =
5 21 ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ 107
Произвольную функцию в Sid, удовлетворяющую а) —д), будем называть функцией распределения (в &ld)\ если же она удовлетворяет только условиям б), в),—монотонно возрастающей функцией в 5?d. Монотонно возрастающую функцию в следует отличать от функции d переменных, монотонной по каждому аргументу, — удовлетворяющей только условию б).
Сделаем следующее замечание о возможных разрывах функции распределения F(x). Как функция от одной фиксированной координаты xh, она монотонная, и поэтому пределы F(х10, хч о, ... , xd + 0) в каждой точке х существуют.
Рассмотрим гиперплоскость Нс = {х: xk = c}. При схфс2 Не, и Нсг не пересекаются. Поэтому существует не более чем счетное множество значений cf, г— 1, 2, ..., таких, что
F(+ оо, ..., + оо, с + 0, + оо, ..., + оо) —
— F{— оо, . . ., —оо, С, —оо,..., — оо) = о
для всех с Ф с).
Назовем гиперплоскостями разрыва функции F (х). Та-
Г
оо оо
ким образом, если хШН°, где Н°= (J (J Н%, то F {.х) непре-
fe=l Г=1 Г
рывна в точке х, а если аШН° и Ь°ШН°, то F (/ [ап, Ьп)) -> -+F{I[a, b)), если ап-*а и Ьп-+а.
Конечномерное вероятностное пространство. Пусть {Md, ©, Р}— вероятностное пространство, ©iDS3d, где 93d— о-алгебра борелев-ских множеств в §td. Если положить
F (х) = Р(/(— оо, *)),
то F(x) будет функцией распределения.
Теорема 2. Пусть в Sld задана произвольная функция распределения F(x). Тогда можно определить вероятностное пространство {$.d, ©, р} так, чтобы. © о S3d и Р{(- OO, ¦*)} = = F (х). При этом вероятность Р на о-алгебре ®d определяется однозначно.
Доказательство этого предложения основано на общих теоремах о продолжении мер. Приведем соответствующие формулировки.
Определения. 1. Нетривиальный класс множеств 2И называется полукольцом, если для любых Д4 е 2ГС, L = 1, 2,
Г
A,nA2earc, А1\А2=[]^к, где Ak е= Ж.
2. Неотрицательную аддитивную функцию множеств ш, определенную на полукольце SW, называют пред мерой {24, пг).
108 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ. II
3. Функцию множеств гп', определенную на классе множеств ШГ, называют продолжением функции множеств т, определенной на Ш, если 2ГС' => iVI и т'(А)— т(Д) при А е 2Я.
4. Предмера называется a-конечной на X, если найдется та-
оо
кая последовательность Дл, что = (J Д*, Д* е Ш.
k=i
Теорема 3 (теорема о продолжении меры). Предмера пг тогда и только тогда имеет некоторое продолжение {@, q}, где @ — а-алгебра, q — мера на @, когда она полуаддитивна, т. е.
оо
если из (J Д* => Д следует k = l
оо
(Дй) (2)
ft=i
для любых А и Ah из SOT. При этом, если m а-конечна, то q на а{Ш1} определяется однозначно.
Теорема 4. Класс J полуинтервалов I[a,b), a,b^Md, образует полукольцо, a F(I[a, b)) — предмера на J.
Действительно, / [а, Ь) П / [с, d) = / [t, s), где t ~(tl, ..., td),
s = (s‘.....sd), tk — max(ak, ck), sh = min(bh, dh) и I[t, s) = 0,.
