Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
J q(B2,b)dP = q«’»(BlXB2),
где В, — произвольное множество из 33i и ?i = ^i(co). В соответствии с правилом замены переменной это равенство можно записать в виде
^'•2)(BiXB2) = ^(B2) yx)dyx
в.
или
2> (В, X в2) = J х(1) (я„ Ух) S Х(2) (В2, у2) q (dy2, ух) qx (dy,), (15)-
У, У!
где %<г) — индикаторы множеств в пространстве У*. Из последней формулы вытекает Теорема 6.
J f(yi,y2)dq{1’2)=W\f(yuy2)‘l(dy2,yi)\ql(dyl) (16>
у0.2> уДу2 )
для любых ЗУ1^-измеримых неотрицательных функций.
Действительно, класс функций /, для которых формула (16) верна, линеен и замкнут относительно предельного перехода по монотонным последовательностям. Так как он в силу (15) со-
124 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ. II
держит функции вида х(1)Х(2)> то он содержит и их линейные комбинации. С другой стороны, произвольную ©('’^-измеримую функцию можно аппроксимировать монотонно возрастающими последовательностями линейных комбинаций функций вида Х(1)Х(2)- ¦
Заметим, что формула (16) верна и для знакопеременных функций /, если только одна из сторон равенства (16) имеет смысл. Из формулы (16) вытекает Следствие.
м (Si, У1Ы = 5/(Ci, У2)q{dy2, Si). (17)
г,
Полученным результатам можно придать следующую более общую форму. Пусть — случайные элементы в {Yh, Sft}, Yh — полные сепарабельные метрические пространства. Положим
yo.s) =П Yk, 23(ь*) = а{а3ь k=l, ..., s}, k-l
Tls — (Si. S2, Ss), Qk — распределение элемента Sa в {Yk, 23ft},
q(s) = q(s)(Bs, Si, ..., 5s-i) — регулярное условное распределение
элемента Ss относительно а-алгебры griJ_1 = S(s,, с2...Ss-iV
формулы
повторно применяя соотношение (17), получим М {/(S., •••, 5»)ISc,} =
= 5 ••• \ У21 •••’ Уп)ФП)(аУп, Si, У2...............Уп~ l))x
гг *„-1 Yn
Xfn-l){dya-L Si, Уг......Уп-2) ... q{2) {dy2, Si), (18)
M{/(S„ .... U =
= S .....yn)q{n)(dyn, yu yn-S\X
Yi Yn-x ^Yn '
Xq{n-l)(dyn-u Уи • ••, Уп-г) ••• qm(dy2, yi)qy(dy{). (19)
§ 4. Независимость
Пусть {й, 0, P}—фиксированное вероятностное пространство. Под событиями будем понимать, если не оговорено иное, ©-измеримые подмножества й.
Два события А и В называются независимыми, если Р(Л ПВ)= Р(А)Р(5). В случае Р(В)>0 это условие эквива-
НЕЗАВИСИМОСТЬ
125
лентно следующему: р(Л|В)= Р(Л). Из определения непосредственно следует:
а) Q и Л, где Л — произвольное событие, независимы;
б) если р(jV) = О, Л—любое, то N и Л независимы;
в) если Л и В{ (/=1,2) независимы, Вх :э б2, то Л и Bi\B2 независимы. В частности, Л и Si независимы;
г) если Л и Bi независимы, i = 1, 2, .. ., п, причем Вь В2,...
П
..., Вп попарно несовместимы, то Л и [_]вг также независимы.
1
Заметим, что без оговорки о попарной несовместимости событий В{ последнее утверждение, вообще говоря, не имеет места.
д) Л не зависит от Л тогда и только тогда, когда Р(Л) = 0 или Р (Л) = 1.
Пусть / — некоторое множество, {2Яг, ie/}—множество классов событий.
Определение. Классы событий {5ЭТг-, i е /} называются независимыми (или независимыми в совокупности), если для произвольных попарно неравных i{, ..., in (ih е /) и произвольных At , Aik^Ttik, k=\, 2, ..., п,
p^M^n пл1п) = Р(л^)Р(и<2)... Р(л<п).
Заметим, что для бесконечного множества классов событий определение независимости эквивалентно требованию, чтобы произвольное конечное подмножество классов событий состояло из независимых классов событий.
Назовем класс событий я-классом, если он замкнут относительно операции пересечения событий (т. е. если из А е 5ЭТ, Se® следует Л ПВ е 5Ш).
Теорема 1. Пусть {2^, i <= /}—совокупность независимых я-классов событий. Тогда минимальные о-алгебры а{5ЭТ,},
i е I, независимы.
Доказательство. Можно ограничиться конечным числом классов . . ., 9Л„. Достаточно показать, что если один из
классов, например Иь заменить на cx{S0ti}, то новая последовательность классов событий также независима.
Обозначим через 91 класс всех событий, не зависящих от Ш2, . .., По определению Mi сг 91 и 91 обладает свойствами:
он замкнут относительно суммирования счетной последовательности непересекающихся событий и образования разности В2\Вj при условии, что В2 :=> Вх. Теорема 1 теперь вытекает из следующего предложения.
Теорема 2. Если класс событий $ содержит п-класс Ш и обладает свойствами-.
а) из Л[ сг Л2, А{ е 91, i — 1, 2, следует Л2\Л! <= 91;
125
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. 1Г
б) из Ап е %п = 1, 2, ..., Ап Г) Ат — 0 при п Ф т еле-
