Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая действия над цилиндрическими множествами в общем случае, нужно иметь в виду, что одно и то же цилин*
52]
ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
111
дрическое множество может задаваться над разными наборами
координат.
Так, очевидно, что
С,....*<в)-с»,.............„+,(ВХ-Ч+,Х
Легко видеть, что любые два цилиндрических множества ?s .,.(S (В) и Cs' /(Б) всегда можно рассматривать как ци-
1’ ‘’ п 1... г
линдрические множества над одной и той же последовательностью координат s", s", ..., s", содержащей как sb sn, так и Sj, s'. Отсюда следует, что, рассматривая алгебраические действия над конечным числом цилиндрических множеств, можно считать, что они заданы над фиксированной последовательностью координат. Таким образом, класс всех цилиндрических множеств образует алгебру множеств.
К этому можно добавить, что если 5 — бесконечное множество, Xs имеют по крайней мере две точки, то класс цилиндрических множеств не является 0-алгеброй.
со
Действительно, множество (J CSrt ( {*srt} )> где х$п — одноточечное множество, xSfi е Xs , не является цилиндрическим. Пусть Хи — полное метрическое пространство, р*. — соответ-
П
ствующая метрика, k — \,2п. В пространство У = ПХь
____________ fc=i
введем метрику р (уи у2) = л/'Z 9% (*?> *|) > где yt = (*}, ..., х"),
*i ^xk-
Точки x’l (k = l, п) будем называть координатами точки yi е У. Нетрудно увидеть, что последовательность точек уп сходится к некоторому пределу тогда и только тогда, когда координаты точек уп сходятся в соответствующих пространствах к некоторому пределу. Отсюда следует, что Y — полное метрическое пространство. Оно сепарабельно, так как счетное множество точек вида (х1 , х! , ..., хпг V х* eZb> где Zk —
Ч М 2 ГП/ rk я
счетное всюду плотное множество в Xk, образует в У всюду
плотную сеть.
При доказательстве теоремы Колмогорова мы используем
следующую теорему.
Теорема 6. Если X — полное метрическое сепарабельное пространство, m — вероятностная мера на о-алгебре борелев-ских множеств пространства X, то для любых е > 0 и В е 0 найдется такой компакт К, 23, что т(В\К) < б.
112
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. И
Доказательство теоремы Колмогорова. Введем ранее определенное пространство Q функций со = co(s), (o(s)eXs, seS, и для произвольного цилиндрического множества
C = CSl...sn{B^S>....положим P'(C) = mSl.....................Sft0-
Из условий согласованности мер вытекает, что Р'(С) определено однозначно. Пусть Ch, k = 1, .. ., п, ... — некоторая последовательность цилиндрических множеств. Не уменьшая общности, можно считать, что они заданы основаниями B^v"'’sp) над одной и той же последовательностью координат (si, ... ..., sp, ...). Учитывая существующий изоморфизм между цилиндрическими множествами над фиксированной последовательностью координат и их основаниями, видим, что Р'(С) является конечно аддитивной мерой. Покажем, что она может быть продолжена до некоторой меры р на {Q, ©}, где © — а-алгебра. В силу теоремы о продолжении меры для этого доста-
оо
точно проверить, что Р' полуаддитивна, т. е. если С0 cr (J Сп, то
оо
Р'(С0)<ЕР'(С„).
й-1
оо
Пусть С0 — (J Сп {Ck[\Cr = 0 при кфг). Докажем, что
П = \
оо
Р'(С0)=ЕР,(С„). (6)
I
п
Отсюда будет вытекать требуемое. Положим С'п — С0\ U С*.
I
Множества С'п образуют монотонно неубывающую последовательность цилиндрических множеств с пустым пересечением. Так как
P'(c0)=Z р'(сй) + рчс;),
k=i
то для доказательства (6) достаточно показать, что lim Р'(С'п) = 0.
Допустим противное, т. е. что lim Р' (С'п) = а > 0. Обозначим через Вп основание цилиндрического множества С'п, и пусть Сл расположено над координатами slf s2, ..., srn. Без умаления общности можно предположить, что при увеличении п набор соответствующих точек (sb s2, ..., sfft) не убывает. В силу теоремы 6 найдется такое компактное множество Кп> Кп с: Вп, что
"Ь,...зГп(Вп\Кп) < «=1,2,
л ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ ИЗ
9 «
Пусть Qn — цилиндрическое множество над координатами
П
s, srn с основанием Кп, Fn = f| Qr и Dn — основание мно-ясества Fn. Очевидно, что Dn есть компакт в так как Dn
k— I
