Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Условие в) эквивалентно требованию: для всякого Fe jy
$Q(B, со) Р (dco) = Р ({? s В} П F).
F
Теорема 5. Пусть X — полное сепарабельное метрическое пространство, S3 — а-алг^бра борелевских множеств X, t, — случайный элемент в {X, S3}. Тогда ? обладает регулярным условным распределением относительно произвольной а-алгебры g (8с@).
Доказательство. Пусть q — распределение случайного элемента ?. Можно построить монотонно возрастающую последо-
5 3] УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ ]2Г
вательность компактов Кп в X такую, что (см. теорему 6 § 2) q(Xy\Kn)<C еп и еп—>0. Пространство всех ограниченных непрерывных функций на метрическом пространстве X обозначим через &(Х) и введем в &(Х) метрику р (/, g), положив r(f, g) = = 11/ — g II, II / II = sup | / (x) |. Пространство 4?(Kn) является
x <= X
сепарабельным. Пусть {fnh(x), k = 1, 2, . . .}—счетная всюду плотная сеть в ^(/Сп). Продолжим f„h(x) на все X так, чтобы sup | fnk (х) | = sup | fnk (x) |.
x e Kn x fs X
Положим Xn-Xn(l), %n(x)= t(Kn, x). Из свойств условных математических ожиданий вытекает, что можно найти такое Dо, что Р (Do) — 0 и при со Ш D0 выполняются следующие соотношения:
если /л4> 0, то
М {/„* (?) %п 13} >0, М {rfnk (?) *„!$} = гМ {fnk (?) х„ IS};
если | fnk — /„,-1 < г, то
I М {(fnk - fni) ХП1Ш Ю,
М {(/„* (S) + fni (?)) Хп I S> = M {/„, (?) x« I 8} + M {fni (?) x„ I 3}
для всех n, k, j и рациональных г. С другой стороны,
15 (М {/ (?) Хп IS} — м {/„* (?) х„ I S}) Хп (?) dP | <
I F
< 5 I f{x) — fnk(x)\q(dx),
РПКп
так что если || хп (f — fni) || -> 0, то
М {/ (?) хJ S} = Hm М {fnk, (?) Хп I 3} (mod Р), (13)
причем предел справа не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.
Так как условное математическое ожидание не определено на множествах вероятности 0, то можно воспользоваться соотношением (13) для определения M{/(?)xn|S} в случае произвольной /, непрерывной на Кп, где /„& —некоторая последовательность элементов всюду плотной сети такая, что
II (/ — fnhj)Xn\\ 0- При таком определении условных математических ожиданий для всех со Ш А> и для всех непрерывных на Кп функций f(x), g(x) и любых действительных cud
M{/(S)Xn|8f}>0, если /> 0, м {cf (?) Хп + dg\l) X п\ m = СМ {f (?) Хп IЪ) + dM {g (?) Хп IЪ),
122 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ. П
т. е. с вероятностью 1 М{/(?)%п|5} оказывается положительным линейным функционалом на Ф(Кп)- Согласно одной теореме из теории меры такой функционал допускает представление
М {f (О Х„ I 3} = J f М qn (dx, со), со s D0,
где qn(B, со)—меры определяемые на борелевских подмножествах Кп однозначно. Для произвольного ВеЭ положим
q(B, со) = lim qn (В П К„, со), со ё ?>0,
q {В, со) = <7 (В), со ен D0.
Нетрудно проверить, что при фиксированном со q{B, со) является мерой. Действительно, во-первых, q(B, со) конечно аддитивна (это вытекает из аддитивности qn). Далее, если В —
¦ = и ВП> Вп, ПВ«2=0 при Щфгъ, то (сое=А))
П= I
N / N \ /оо \
Xq(Bk, со) = q Bk, coj < со J =
/оо 4 00 оо
= lim qn[\]Bk, со ) == lim ? qn (Bk П Kn, ©)< ? q {Bk, <o).
rt->oo \ 1 / fl->oo 1 1
0OO \ oo
J Bk, coj = X q (Bk, со), т. e. q {B, <o)
счетно аддитивна. Из равенства
\ f (х) qn (dx, се) = J f(x)q (dx, со), со Ш S>0,
Kn
следует (a)eD0)
\f(x)q (dx, со) = ^ f(x)q (dx, <o) = lim J f (*) qn (dx, <o) x °° *„
U*„
i
для любой 58-измеримой неотрицательной функции /. Поэтому, если f — непрерывная и ограниченная, то
{f 13}= lim М {/xJ3} = ^ f (x)q(dx, со) (mod Р). (14)
rt-*oo J
M
Так как произвольную ограниченную ^-измеримую функцию f(x) можно аппроксимировать последовательностью ограничен-
§ 3] УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ 123
ных непрерывных функций fn(x) так, чтобы ^|/(х)—fn(x) \q(dx)-> —> 0, то из неравенства
^ I f (х) — fп(х) IQ (^х) вытекает, что равенство (14) имеет
F
место и для произвольной Э-измеримой ограниченной функции. В частности, P{B|ft} = q(B, со) (mod р). Щ
Рассмотрим случайные элементы и ?2 в {У], SBj} и {У2, 02} соответственно, где {Yi, ад удовлетворяют условиям теоремы 5. Положим У<>-2) = X У2, S(1,2) = о {©*, 6 = 1,2}. Последовательность ?(Ь2) = (?ь ?2) можно рассматривать как случайный элемент в {У(1*2), 58<‘-2)}, а У<1-2) — как полное метрическое сепарабельное пространство. Пусть qi обозначает распределение (г = 1, 2), <7<1>2) — распределение ?(li2), a q{'21 — регулярное условное распределение ?2 относительно ст-алгебры порожденной случайным элементом Так какд(2|1) является ^.-измеримой функцией, то q{211) (В2, со) = q {В2, Ci), где В2е532, и функция q(B2,y) Si-измерима. Из определения условных вероятностей следует
