Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
если условие / s не выполнено. Далее, I [a, b)\I[c, d) = = {*: х* bi)\[ci, di), j = 1, ...,d}, что представляет собою сумму не более чем 2d интервалов. Покажем теперь, что F(I[a,b)) является аддитивной функцией на J. Если интервал I [а, Ь) разбить на два: 1[а, с{) и / [сь Ь), где сх = (с1, b2, . .., bd), а1 < с1 < Ь1, то
F (/ [а, Ь)) = Д[а,_ с|)Д[аг, ьг) ... ,fi)F (х) +
+ Ч.',»'>а!ад <i,n)fw=f('[a' ‘.й+'Ч'К.*))-
Такое же равенство имеет место, если 1[а, Ь) разбить на два интервала с помощью деления любой из сторон [ah, bh) на две части. По индукции аддитивность функции F(/) доказывается для произвольного разложения I на сумму интервалов. ¦
Перейдем к доказательству теоремы 2. Остается показать, что функция F(/) обладает свойством полуаддитивности (2).
со
Пусть 1 = 1[а0, Ь0), 1п = Пап, Ьп) и/cjj/». в СИЛУ не'
1
прерывности функции F(x) слева можно найти такое е = = (8ft, . . . , 6ft), 8ft > 0, ЧТО
5 2] ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ Ю9
Открытые интервалы I (ah — е*, bh) покрывают замкнутый интервал /к Ь0 — е]. В силу теоремы Гейне — Бореля из них можно выделить конечное подпокрытие, например {/(ай — ей, bk), k= 1Тогда последовательность интервалов 1[ак — еь Ьк), k=\, я, покрывает интервал 1[а0,Ь0 — г). Непересе-каю-щиеся множества (к — 1,2...........п)
г k~\
I [аэ, b0 — е) П j I ki — zk, bk) \ [J / [ai — eh bt) v t-i
являются суммами непересекающихся полуинтервалов Ikj (/ =
п dk
— 1, ..., d). Таким образом, I[a0, b0 — e) = [J I) Ik, и
ft-i /-i
F (/ [flo, b0 ~ e)) = t ZF (/*/) <t F (I [ak- e*. bk.)) <
ft-i /=i k=i
oo oo
(/*) + »!.
OO
Переходя к пределу при е-*0, получим Т7(/ [а0, &0))^ X
*-i
ИЛИ, в силу произвольности Т|,
оо ?=1
Теорема Колмогорова. Рассмотрим следующую задачу. Пусть дано некоторое множество измеримых пространств {^s, S3s}, seS, и совокупность вероятностных мер {tnSl,s2,....snl п~ 1 2,...; sAeS}, где mSvs2.........sn — мера на прямом произведении
П
23SjJ. Требуется построить вероятностное простран-
& — i
ство {Я, @, Р} и семейство {?s, se5}, где ?s — случайный элемент в {*s, S3s), так, чтобы произвольная последовательность
П
(Ц, • • •, ?s„) (и — любое) имела на й<* v SjJ заданное
распределение mSi......sn-
Прежде всего, ясно, что совокупность мер/rtj,.........$пне может
быть совершенно произвольной. Действительно, если задача имеет решение и
....(Й ч)=р (д к**s • (3)
110
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. II
то, очевидно,
...^(й ......................-»(Й в->)' (4)
если BSj = XSl при / = /1+1.............. «тши
где (/1, /2, ..., /„) — некоторая перестановка чисел (1,2...п).
Соотношения (4) и (5) называют условиями согласованности семейства распределений {mSv sn, n=l,2,...,sseSJ.
Теорема 5 (теорема Колмогорова). Пусть Xs — полные метрические сепарабельные пространства, ЗЭ„ — а-алгебра борелевских множеств Xs. Для произвольного согласованного семейства распределений {ms,.....sn\ п— 1,2,...; можно по-
строить вероятностное пространство {Q, 0, Р} и семейство случайных величин {?s, seS} так, чтобы пг* ...,s было распределением последовательности
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, приведем ряд нужных для дальнейшего замечаний и построений.
Пусть Q — пространство всех функций g) = cd(s) аргумента seS, принимающих при каждом s значения из Xs ( Q = JJ ХЛ.
\ seS )
Определение. Множество Csv...,sn{B^Sl....5«)) вида
Cs,...sn (B(s‘.Sre)) = {<o: (со (s,), ..., со (s„)) <= -• s«)},
где e a {23^A, k = 1, 2, ..., я], называют цилиндриче-
ским или, подробнее, цилиндрическим множеством в Q с основанием В(s‘’ ”"sn) над координатами Si, ... , sn.
При фиксированных точках su s2,.........., sn между цилиндрическими множествами CSj>..., .s"0 и множествами из
<r{23Sfe, k—\..... п} существует изоморфизм: каждое мно-
жество fiea{23Sjfe, k=\определяет цилиндрическое
множество CSi.....Sn (В), для которого оно служит основанием;
разным основаниям соответствуют разные цилиндрические множества; сумме, разности или пересечению оснований соответствует сумма, разность или пересечение цилиндрических множеств. Это непосредственно вытекает из определения цилиндрического множества.
