Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
является пересечением замкнутых множеств, среди которых по крайней мере одно, Кп, компактно.
Так как множества Fn монотонно убывают, то из со (s)ef,', п'>п, следует соПоэтому, если (%,,**,,................xs , ...
• • • , ^srn + p) ^ F^n + pi TO (*s,> XS21 • • • 1 ^ F)n.
Множества Fn, очевидно, непустые. Более того, так как
С'п \ Fn = й (С'п \ ??/)«= U (с; \ Q/), то /-1 /-1
п п
Р' (С'п \ Fn) < ? Р (С', \ Q,) = ? т$1... , (5/ \ К/Х
1 !
откуда следует, что
lim Р'(Fn) = lim Р'(С'п) - lim Р'(с'п\Fn)>j.
Из каждого множества Dn выберем какую-либо точку (х*, ...,xf). При любом k последовательность точек xnk,
п=1, 2, .. ., принадлежит компактному множеству в XSk, а последовательность (x1+I, . . ., xnr+i), j = 0, 1, 2, ..., лежит в Dn. С помощью диагонального процесса найдем последовательность
и п1
индексов ttj таких, что при каждом k последовательность xk‘ сходится к некоторому пределу Из замкнутости множества Г)п следует, что при любом п х%, . .., х^п) е Dn.
Определим функцию co(s), положив to(sk) — x°k, k = 1, 2, . . ., и доопределив ее в остальных точках произвольным образом.
оо
Тогда при любом п имеем со (s) s Fn cz C'n. Следовательно, f| C'n
n = 1
непусто, что противоречит первоначальному допущению. Отсюда
вытекает, что lim РЛ (С^) = 0 и предмера Р' допускает продолжение до некоторой меры Р на 0-алгебре @, содержащей все Цилиндрические множества пространства. Вероятностное пространство {Я, @, Р} построено. Положим теперь ?s = gs(o)) = со(з).
114
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. II
Тогда
§ 3. Условные вероятности
Элементарная формула для условной вероятности события А при гипотезе В
показывает, как следует определять вероятность, если определенным образом меняется класс допустимых экспериментов или комплекс условий У, при которых проводятся эксперименты. А именно, к У добавляется следующее требование: рассматри-ваются только те эксперименты, в которых В обязано проис-ходить.
Поставим вопрос шире. Допустим, что производится неш> торый эксперимент Э. Как следует определить вероятности событий, наблюдаемых в других экспериментах, если предположить результат эксперимента Э фиксированным?
Прежде чем дать формальное определение, обсудим к рассмотрим поставленный вопрос в частных случаях. Поскольку эксперимент Э полностью описывается ст-алгеброй % наблюдаемых в Э событий, обозначим вероятность, которую желательно определить, через Р{Л|3?} и назовем ее условной вероятностью события А относительно ст-алгебры д. Если Л е S, то естественно положить Р{Л|3?} = 1 или 0 в зависимости от того, произошло ли событие А или нет.
Пусть теперь g является простой ст-алгеброй, Еп — ее атомы и Р (.?„)> 0. Если А — произвольное событие на то положим
где Р(Л|?„) определяется по формуле (1).
Отметим существенную особенность данного определения: условная вероятность является случайной величиной, зависящей от результата соответствующего эксперимента. Последнее формально означает, что условная вероятность является g-измери-мой случайной величиной.
Р(А\В) = Р(В) > 0,
(1)
(2)
П
^ 3, УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ 115
Введем понятие условного математического ожидания случайной величины ?. Естественно положить
Mfe|g}=$SP(d<D|S)
Я
ИЛИ
(3)
Еп
При этом предполагается, что Mi конечно. Если в последней формуле положить | = %(А), то получим условную вероятность события А\
М {ЦА) IS} = ?> = Р (Л 15'}>
п
так что условная вероятность является частным случаем условного математического ожидания.
Пусть г) — произвольная ограниченная {J-измеримая случайная величина. Тогда л == ? ап% (Еп). Умножая равенство (3) на
П
Т], получим
M(riM{?[S}) = 2>» S = Z
п Е„ п Е„
п п
или
M(tiMUIS}) = Mt,&. (4)
Последнее соотношение полностью определяет условное математическое ожидание случайной величины Действительно, пусть i — g-измеримая случайная величина такая, что для любой ограниченной ^-измеримой случайной величины л имеем М(л|) = М(л|). Так как |—постоянная на Еп, то |= сп при
<о е Еп. Пусть г) = %(Е„). Тогда
