Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
рр6'Рфк = к{/рфк .
Пользуясь выражениями (5.12) и (5.13), можно определить закон преобразования других величин при преобразовании четности. Например,
L — г X Р ->¦ И p\JJpl = L, (5.14)
откуда следует, что Up и орбитальный момент количества движения коммутируют друг с другом. Это соответствует нашим
прежним наблюдениям, а именно тому, что собственные состояния момента количества движения в задаче центрального поля являются одновременно и собственными состояниями четности.
До сих пор мы пренебрегали спином. Зависимость атомного
или ядерного гамильтониана от спина определяется спин-орби-
тальным взаимодействием, имеющим вид
L'S(/( | г | )), (5.15)
так что необходимо знать свойства преобразования четности для спиновых переменных. Так как S есть момент количества движения, то равенство (5.14) предполагает выполнение требования
UPSUJl=S. (5Л6)
Тогда полный момент количества движения J также удовлетворяет уравнению
'UPiUJl = J. (5.17)
Видим, что спин-орбитальное взаимодействие (5.15) согласуется с инвариантностью относительно преобразования четности.
Из предыдущего материала следует, что оператор спиральности
¦ a? = j-p/|p|
114
удовлетворяет уравнению
Up жир1 = —Ж,
(5.18)*
так что в результате пространственной инверсии его собственные значения меняют знак.
Классификацию величин на скалярные, векторные и др., основанную на их поведении при поворотах, можно дополнить классификацией на основе их поведения при пространственных инверсиях. Скалярные величины называют истинно скалярными или псевдоскалярными в зависимости от того, меняют они знак или: нет при инверсиях (например, энергия и спиральность соответственно) .
Аналогично истинным или полярным вектором называют такой вектор, который, подобно координате г, меняет при инверсии свой знак, в то время как псевдо- (или аксиальный) вектор, например момент количества движения L, знака при инверсии: не меняет.
Такая классификация одинаково хорошо применима как к операторам, представляющим величины, так и к их собственным значениям.
5.1.4. Замечание по поводу определения преобразований симметрии. Теория оператора четности сформулирована нами с помощью координатного представления квантовой механики. Можно вообще не прибегать ни к какому представлению, если сделать законы преобразования г и р исходным пунктом дальнейшего обсуждения. Этот более фундаментальный подход к проблеме состоит в записи преобразования пространственной инверсии по аналогии с классическим случаем в виде
т-угр = — г; р->-рр = — р. (5.19)
Заметим, что основные коммутационные соотношения
I'";, Pj] = (5-20);
остаются справедливыми и для преобразованных операторов:
[г?’ PPj] = 1)2№бо- = ihbif-
Преобразование, обладающее этим свойством, называют каноническим. Из теории квантовомеханических преобразований следует, что существует унитарный оператор UP, обладающий свойствами
UPrUF'=rp; UppUJ^pP. (5.21)
Уравнения (5.19) и (5.21) соответствуют выведенным ранее уравнениям (5.12) и (5,13).
С изложенной точки зрения пространственная инверсия является симметрией системы, если в обращенной системе отсчета
коммутационные соотношения (5.20) и гамильтониан Я (г, р) не меняют своего вида.
115.
При предыдущем рассмотрении коммутационные соотношения ‘были удовлетворены следующей подстановкой в выражение для Л:
р -> — i h\.
5.1.5. Сохранение четности в реакциях. Мы рассмотрели четность стационарных состояний. Теперь рассмотрим четность в процессах рассеяния и в реакциях. Если исходное состояние какого-либо процесса является собственным состоянием четности, а взаимодействие инвариантно относительно пространственной инверсии, то конечное состояние должно иметь такую же четность. .Докажем это. Инвариантность относительно пространственной инверсии выражается следующим образом:
UpgUTx=SF. (5.22)
Здесь JT—оператор перехода, являющийся функцией гамильтониана, так что соотношение (5.22) следует из уравнения (5.9).
Преобразуя (5.22), получаем для матричного элемента фь—фа
(ф*, Up Sf фа) = (ф*, STUp фа).
Если фа и фЬ — собственные состояния четности, то справедливо равенство
ЛЛф*, $ Фа) = Ла(ф*, SF Фа).
