Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
5.1.2. Формальная теория оператора четности. Гипотеза об инвариантности относительно пространственной инверсии требует, чтобы левая система координат 2', полученная из системы 2 изменением знака всех трех координат
Р: г —> г' = — г, (5.2)
одинаково подходила для описания всех законов физики.
Состояние, описываемое в системе 2 функцией ip (г), в системе 2' имеет волновую функцию г|/(г'), определяемую равенством
V (г') = (г), (5.3)
в котором г' и г связаны формулой (5.2). Таким образом, рас-
сматриваемое состояние обозначается в системе 2' волновой функцией г|/(г') =^(—г).
В этих выводах мы просто следуем общей теории § 2.3.
При активной интерпретации г)>(—г) есть новое состояние системы в старой системе отсчета 2.
Определим унитарный оператор UP формулой
^р^(г) = Ч>(— г)- (5-4)
Если оператор UP применить к какой-либо волновой функции, то получается пространственно-обращенная волновая функция. Свойство унитарности UP легко доказать. Для любых двух функций ф и т|) имеем
(UP ip. Up ф) = j сРгф* (— г) ф (— г) = j d3r'q>* (г') ф (г') = (ф, ф).
Так как (UPty, UP ф) = (ip, Ut UP<p) , то
UtUp= 1. (5.5)
Геометрическая операция пространственной инверсии обладает специфическим свойством: если ее совершить дважды, то результат будет эквивалентен тождественному преобразованию, т. е. никаких изменений не произойдет. В символическом виде это записывается так:
Р2= 1,
Отсюда следует, что
и2Р=\,
где 1 означает единичный оператор. Из уравнений (5.5) и (5.7)
следует, что UP есть эрмитов оператор, равный обратному опе-
ратору:
112
(5.6)
(5.7)
Ut = Up = Up1
(5.8)-
Поэтому Upt может представлять наблюдаемую величину.
Собственная функция оператора UP удовлетворяет уравнению
Upty (г) = tiip (г),
а собственное значение г) называется четностью состояния, Up иногда называют оператором четности. Применяя UP дважды,
получаем Upty (г) = т)2г)> (г), но в силу (5.7) имеем Up 1|з (г) = гр (г). Таким образом, г)2= 1 и, следовательно, rj = ± 1. Отсюда видно, что четные и нечетные функции вектора г — собственные функции ир с собственными значениями +1 и —1 соответственно.
Такая система, как атом или ядро, обладает инвариантностью относительно пространственных отражений, если гамильтониан инвариантен относительно операции четности (5.2). В случае одного атома гамильтониан равен сумме кинетических энергий всех электронов и кулоновских взаимодействий электронов друг с другом и с ядром. Формальная подстановка г^>—г оставляет такой гамильтониан инвариантным. Это выражается равенством
UPHUJl = H. (5.9)
Оператор в левой части равенства можно считать гамильтонианом для наблюдателя, использующего обращенную систему координат S'. Уравнение (5.9) утверждает, что гамильтониан для двух наблюдателей в системах S' и S одинаков, и, следовательно, уравнение Шредингера в равной мере справедливо для обеих систем.
Существует и более частное следствие. Уравнение (5.9) можно записать в виде
[UP,H\ = 0, (5.10)
что означает, что UP и Н коммутируют. Согласно общей теореме, энергетические собственные функции можно выбрать такими, чтобы они были собственными функциями UP, т. е. имели определенную четность, Подчеркнем, что это именно так, даже если не удается найти в явном виде энергетические собственные функции. Этот результат — один из этапов доказательства правила Лапорта.
5.1.3. Преобразование операторов. Преобразование четности для оператора А определяется выражением
Ap = UPAUJl, (5.11).
Оператор Ар имеет такой же смысл в обращенной системе отсчета S', что и оператор А в системе S. Как уже было показано в общем виде (см. гл. 2), Ар имеет то1 же самое среднее значение для состояния Црф, что и оператор А для состояния \|з. Таким: образом, получаем
r^rP = UprUp' ;
-11$
здесь г' заменено гр, так что
UPrU7x = —r. (5.12)
Аналогично р р*5 = UpplIJ1 . Так как р = — i Ну, то
UppUp'= — p. (5.13)
Проиллюстрируем сказанное на следующем примере. Для состояния плоской волны <pk = exp(ikx) преобразование четности дает
UPyk = exp(ik (— г)) = Ф_к.
Здесь фк —собственное состояние оператора импульса РФк = = кфк, a t/p^k—собственное состояние пространственно-обращенного оператора импульса рр = —р, имеющего то же самое собственное значение к, что и исходное состояние:
