Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Соответствующее соотношение между трехмерными импульсами запишем в виде
__________ р' = Ар. (4.119)
* Материал этого параграфа не является необходимым для понимания последующих глав.
103
Доказательство было проведено для случая спина, равного нулю. Если имеется индекс спиральности, то результат все равно остается справедливым, но спиральность преобразованного состояния не обязательно должна оставаться такой же, как в исходном состоянии. Тем не менее можно разложить преобразованное состояние по состояниям ф ,v (—s < к' < s), которые образуют полный набор состояний частицы с импульсом р'. Таким образом, имеем
U (Л) ФР?. = 2 М^’>- ФР'?/ • (4.120)
Здесь для удобства коэффициенты разложения записаны в виде матрицы.
Введем более сжатую форму записи уравнений, определяющих спиральные состояния (4.55):
Фр. =U(Hp)%h, (4.121)
где Яр —преобразование Лоренца, состоящее в последовательном применении буста вдоль оси г и последующем повороте:
Яр =Я(Ф, 0, 0)%р. (4.122)
Соответствующие этим преобразованиям операторы удовлетво-
ряют соотношению
U (Нр) — U (R (Ф, 0, 0))U(%P).
Аналогично для каждого состояния с импульсом р' справедливо выражение
Фр'г = ^ (Яр') Фог • (4-123)
Подставляя эти выражения в (4.120), получаем U (Л) U (Яр) Фох = 2 MVxU (ЯР') фог •
К'
Умножая на U~l (ЯР') = U (Я7'1) и используя групповое
свойство унитарных операторов (2.42), находим
= (4.124)
Л
Согласно этому уравнению, преобразование Я^1 ЛЯР связывает два состояния покоя частицы. Следовательно, оно представляет собой чистый поворот Rw-
Rw = Яр”-1 ЛЯР , (4.125)
который называют ви.'неровским вращением.
Важно, что Л, р и р' в этом выражении связаны соотношением
(4.119). Ось и величина угла поворота Rw зависят от р и Л.
Расчет Rw для частного случая приведен в следующем параграфе.
Возвращаясь к анализу, отметим, что в левой части уравнения (4.124) имеем чистый оператор вращения, действующий на
104
один член стандартного набора собственных состояний момента количества движения ф(д [см. (4.48)]; следовательно, выражение (4.124) можно записать в виде
U {Rw) ф0^ = X Фо>/ (^и7)’
Л/
где SDl/%—матрица поворота.
Для вывода общего закона преобразования спирального состояния объединим полученные результаты:
и (Л) Фр = и (Л) и (Яр) ф0, = и (АЯр) ф0, = и (ЯР' я-.1 ляр);Фо, =
= ^ (Яр') {S Фо,.. (Я*0} = 2 г/ (Яр') Ф0Г а*.* (ад
(Здесь повторно использованы групповые свойства и введен оператор 1 = Яр-Я^Г'1 , который ничего не меняет.)
Таким образом, окончательно получаем желаемый закон преобразования:
г/(Л)Фр, = ^Ф рЧ^(ад, (4.126)
где [см. (4.125)] RW = H^AHP, р'= Лр. Этот закон, впервые выведенный Вигнером [183], достаточно прост. Действие преобразования Лоренца Л на переменную импульса очевидно, а действие на индексы спиральности описано обычно ^-функцией. Вращение Rw не зависит от массы частицы и ее спина: это кинематический эффект, зависящий только от мультипликативных свойств преобразований Лоренца. Он станет яснее после того, как рассмотрим специальный случай и выведем выражение для Rw-
4.10.2. Вигнеровский поворот в частном случае. Пусть р лежит в плоскости xz, образуя с осью 2 угол 0:
р = (psin 0, 0, р cos 0)
и Л есть чистое преобразование Лоренца в 2-направлении, так что р', задаваемое выражение (4.119), также лежит в плоскости xz:
р' = (р' sirf0', 0, p'cos0').
Таким образом, координаты у остаются все время неизменными и вращение Вигнера должно быть поворотом вокруг оси у. Обозначим угол поворота со.
Записывая преобразование Лоренца Яр (4.122) (при ф=0), удобно параметризовать буст вдоль оси z с помощью гиперболического параметра х (иногда называемого быстротой).
Определим х с помощью выражения
1: ch х: sh х = т: (р2 + /п2)1/г: | р | .
Отсюда получим
Яр=Я(0, 0, 0)2б-(х),
105
где
%(*)¦
t х z
chx 0 shx
0 1 0 shx 0 shx
(4.127)
R(0, 0, 0)
0 0 cos 0 sin 0
— sin0 COS0
(4.128)
Здесь опущена строка и столбец матрицы лоренц-преобразо-вания, соответствующие оси у, потому что, как отмечалось выше, координата у не меняется.
Матрицу ЯР', соответствующую преобразованному импульсу р', запишем в виде
ЯР' = R(0, 0', О)Ж(х'), (4.129)
