Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
где % (х') и R(0, 0', 0) выражаются аналогичными матрицами, в которых х и 0 заменены на х' и 0', а х' определяется из соотношений
1 :chx' :sh х' = т:(р'2 + т2)'/г: | р' | .
Преобразование Лоренца Л имеет вид
1 0
Л = (1 — и2)'
‘Л
0 (1 —«2)'2 и 0
Вигнерозское вращение R « определяется формулой
Hp'Ru = ЛЯР .
Представим Ra в виде
/1 0 0
R„
cos (о sm со
— sin со cos (О
(4.130)
(4.131)
(4.132)
и подставим выражения (4.127) — (4.130) и (4.132) в (4.131), получим уравнения, которых вполне достаточно для определения •к' и 0' (параметров, определяющих р'), со через х и 0 и скорость и в преобразовании Лоренца.
Пусть ир —скорость частицы в состоянии <рР?. :
vp = | р \/Ер = th х.
Тогда выражение для со можно представить в виде
tgco = sin 0(1 —Ур)/г]/(ир +mcos0) (4.133)
106
Уравнение (4.126) в этом случае принимает вид
^(л)фр,= j
Фр'Г
(со).
Можно сказать, что для преобразованного состояния спин повернут на угол со вокруг направления импульса р', так что, в то время как действие Л эквивалентно бусту р вдоль оси 2(0'<0), спин отстает от него на угол со (рис. 4.4).
Можно отметить следующие специальные случаи уравнения (4.133). Если 0 = 0, то tgco = 0 и, следовательно, со=0: этому случаю соответствует преобразование Лоренца вдоль направления движения частицы. При этом, как мы 2# уже видели, спиральность не меняется, так что спин не преобразуется. Утверждение неверно, если преобразование Лоренца изменяет направление движения, так как при этом знаменатель в выражении (4.133) проходит через нуль.
В случае ультрарелятивистской частицы |р|»т, для которой ур «1, согласно уравнению (4.133) со~0. Таким образом, для ультрарелятивистской частицы спиральность почти инвариантна относительно преобразования Лоренца.
Это согласуется с поведением частицы с нулевой массой, для которой спиральность действительно является лоренц-инвариантной величиной.
Исследуем теперь нерелятивистский предел, для которого
1 и ур < 1. В этом случае
tg со « и sin 0/(ир 4- и cos 0) . (4.134)
Представим себе трансляционное движение классического нерелятивистского вращающегося объекта с импульсом р в системе 2. Относительно второй системы Е' ось спина имеет ту же самую абсолютную ориентацию, тогда как импульс становится равным p' = p + mu. Если ось спина первоначально параллельна р, то угол между осью и р' равен углу между р' и р, обозначаемому ранее (0—0'). Нетрудно показать, что правая часть равенства (4.134) равна tg(0—0').
Рис. 4.4. Вигнеровское вращение , соответствующее преобразованию Лоренца от системы 1 к системе 2' (со<0—0'), при-
мененное к спиновому состоянию частицы р
10-7
Итак, в результате использования преобразования Лоренца вместо преобразования Галилея угол со становится меньше величины (0—0'). Это отклонение со от нерелятивистского значения обусловлено прецессией Томаса {168, 169], известной в атомной физике. Общее происхождение этих эффектов связано с тем, что результат двух чистых преобразований Лоренца вдоль различных направлений сам не является чистым преобразованием Лоренца, а есть комбинация преобразования Лоренца и поворота.
4.10.3. Преобразование элементов S-матрицы. Из общего закона преобразования спиральных состояний (4.126) можно вывести закон преобразования матричных элементов любого оператора А в базисе спиральности, если известны его трансформационные свойства относительно преобразований Лоренца. Рассмотрим только случай, когда оператор рассеяния S инвариантен относительно преобразований Лоренца:
S = U~1(A)SU(A).
Следовательно, оператор перехода JT, определенный формулой
5 = 1 + i if, также является инвариантным оператором
= U-'(\)JU(A). (4.135)
Рассмотрим далее я#-рассеяние и используем обозначе-
ния § 4.8. Амплитуда рассеяния (0) является матричным элементом оператора перехода ?Г между состояниями ф рх и ф системы nN с определенной спиральностью, а угол 0 — это угол между векторами р и q.
Возьмем матричный элемент соотношения (4.135) между состояниями <pq|4 и фр?1 и используем закон преобразования (4.126), тогда получим
(V > ?фря.) = Ки. и~г (д)(д) Фря.) = (и (д) 4V • фрО =
= Д], W (Ф,^, Ш (4.136)
Здесь Rz и Ri — вигнеровские вращения, соответствующие импульсам q и р и преобразованию Лоренца Л.
Если ф ръ —состояние nN в с. ц. м., то фР'г — состояние,
с относительным импульсом р' и ненулевым полным импульсом,
например состояние в л. с. к. Таким образом, выражение (4.136) есть соотношение между матричными элементами перехода в с. ц. м. и л. с. к. В некоторых случаях нет необходимости знать вигнеровское вращение. Например, если рассматривается квадрат