Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
(5.35) соответствуют уравнения для операторов:
U(P)2= 1; - (5.36)
и (Р) и (а0, &) = и («„, — а) и (Р); (5.37)
U(P)U(R) = U(R)U(Py, (5.38)
U (Р) U ('/,) = U (2f-,) U (Р). (5.39)
Вместо того чтобы определить U(Р) непосредственно по его действию на волновую функцию (см. § 5.1), выберем для определения действия U(Р) на одночастичные состояния такое условие, чтобы уравнения (5.36) — (5.39) выполнялись.
Прежде всего преобразуем (5.37) к более удобному виду^ считая смещение бесконечно малым.
С помощью четырехмерного импульса Рц= (Ро, Р) по аналогии с уравнением (4.28) запишем
U(a0, а) = 1 + i (а0Р0— аР).
Подставляя это соотношение в (5.37), получаем
U (Р) {1 + Щро — iaP) = {1 + iaoPo + iaP} U [Р)-
* В дальнейшем воспользуемся обозначением U(P), а не UP, так как это удобнее для других унитарных операторов U(а) н т. д.
127
(5.40)
(5.41)
Таким образом, U(Р) коммутирует с оператором энергии (гамильтонианом) и антикоммутирует с трехмерным импульсом Р.
Рассмотрим одну частицу с массой т и спином s, спиральные состояния которой фр?. определены процедурой, описанной в § 4.3 ж 4.4.
Состояние фРх — собственное состояние операторов Р0 и Р с собственными значениями (р2 + т2)1/2 и р. Применяя к этому состоянию последовательно соотношения (5.40) и (5.41), получаем
Видно, что состояние U(Р)фРх является собственным состоянием энергии—импульса с энергией (р2 + т2)*/2 и трехмерным импульсом —р, что и следовало ожидать.
Рассмотрим множество состояний покоя фох (—s^X^s), преобразование которых относительно вращений определено стандартным способом в § 4.4. Состояния, к которым применено преобразование четности U (Р) ф0?., являются и состояниями покоя; это следует из только что проделанных выкладок. Из (5.38) следует, что при вращениях эти состояния также преобразуются •стандартным способом:
Таким образом, можно сделать вывод, что состояния U (Р) фьх и Фох пропорциональны друг другу, т. е.
где tip— фазовый множитель.
Более тщательный анализ, который мы здесь проводить не будем, показывает, что единственная альтернатива уравнения (5.42) состоит в том, что для покоящейся частицы существуют два различных набора из 2s+l состояний каждый. Но это отличается от того, что мы наблюдали в действительности.
Если принять условие (5.42), то из (5.36) следует, что
где tip—внутренняя четность частицы. Рассмотрим теперь действие U (Р) на состояние с импульсом р, направленным вдоль оси z.
P# (р) Фр>. = U (Р) Л>ФрХ = (р2 + trr) '2 U (Р) фр> ;
р и (р) Фр* = — Ри (р) V-
U (.R) U (Р) ф0, = U(P)U (R) Фох - U (Р) {? (Я)}
= ^ и (Р) фох, (R)'
и (Р) Фох = т1' Фох.
(5.42)
Лр = 1; = ± 1,
(5.43)
128
С помощью соотношений (4.50) и (5J39) получаем
^и(Р)и(%р)Ч>ооох^и(%-р)и(Р)Ч>о<ш- (5.44)
Следовательно,
. = Лр^-р) Ф000г
Здесь SS_P — буст в отрицательном направлении оси z. Таким образом, состояние в правой части отличается от состояния, определенного в (4.66), лишь фазовым множителем. Однако прежде чем вычислять по этой формуле, проведем следующую операцию.
Поворот Уя на угол я вокруг оси у переводит направление + z в направление —z. Следовательно, преобразования Лоренца удовлетворяют условию Y^l%pYn = ^t/_p. Соответственно
U &р) U (Гя) = U (К_„). (5.45)
Подставляя это выражение в (5.44) и используя известные трансформационные свойства состояний покоя относительно поворотов
U (Yл) Фооох = Фооог (я) — ( l) Ф0оо,-я>
получаем
^ (Р) Ф.00Х = 4PU (У-л) и тр) (-1ГЧоо.-г
Таким образом,
V (Р) \оох = ЛР (К_0 срр00 _г (5.46)
Из этого уравнения следует, что действие оператора четности на одночастичное состояние аналогично действию определенного поворота У_я. Но из него нельзя сделать вывод о том, что операторы равны, так как это верно не для всех состояний.
Уравнение (5.46) есть наиболее полезная форма выражения закона преобразования четности для спиральных состояний. Представим этот закон в другом виде, перенеся оператор поворота в левую часть равенства:
U (Yл) U (Р) (- 1ГЧоо,-г (5-47)
Ясно, что комбинированная операция YnP есть отражение в плоскости xz. Обозначив ее /„, имеем
^(^)Фроох = Лр(-1ГЧоо.-х- (5-48)
Но вращение в плоскости xz коммутирует с отражением в этой плоскости, так что, применяя U(Ye) к обеим частям равенства
