Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
91
Из закона сохранения четности для амплитуд парциальных волн следует, что
_ = fJ++, ?TJ+- = (4.100)
и можно еще раз показать, что инвариантность обращения времени не приводит к каким-либо новым ограничениям.
Спиральные амплитуды можно записать в виде матрицы
/
/++ /+_ f-
f++ f— f~+ f++ j
Вторая форма матрицы — результат применения закона сохранения четности. Матрица / есть матрица в представлении спиральности. Это означает, что индекс столбца относится к проекции спина исходного нуклона на ось г, а индекс строки — к проекции спина конечного нуклона на направление, определяемое полярными углами (0, ф).
При подходе, опирающемся на нерелятивистский анализ парциальных волн, спин конечного нуклона относят к той же оси> что и спин начального нуклона, т. е. в данном случае к оси z. Рассмотрим теперь, как связаны эти подходы.
Функцию /ца (0, ф) можно считать матричным элементом
и = №'\ hih))
оператора перехода между состояниями спиральности начального нуклона
х+ = (о) или Х~ = (l
т. е. спинором с осью z в качестве оси квантования и спиральным спинором для конечного нуклона
_ /1\ „(А')
Х+ = ( q ) или X-
(?)•
ось квантования которого совпадает с направлением (0, ф) конечного нуклона.
Посмотрим, какова амплитуда рассеяния в состоянии, в котором конечный нуклон имеет проекцию спина т на направле-ние Oz. Такое состояние спина для конечного нуклона (обозначим его у}т) получается из спирального состояния путем поворота Я(Ф, 0, О)-1 = R (0, -0, -Ф)
(см. рис. 4.3). Следовательно,
X# = и (Я(ф, 0, О)-1) № = U (У—е) и (2_ф) № =
S (—9) ехр (i/п'ф).
Введя явные выражения для элементов ^-матрицы, получим
v(0 — v(h') Г* ПС fiYn (1 ГГ) /9^ _ Aj(h') С1П {ftlW Pvn /’irn/9V
Для начального нуклона спиральное состояние уже является состоянием с определенной проекцией спина на ось Oz. Следовательно, = ¦ Так ка,к конечное спиновое состояние X^f)
является суперпозицией спиральных состоянчй, то можно представить амплитуду рассеяния в базисе спиновых состояний, отнесенных к общей оси z, в следующем виде:
(х+, hm) = cos (0/2) exp (—1ф/2) (х+}, f%lm) — sin (0/2) X X exp (i<p/2) ftW) = cos (0/2) exp (—icp/2) f+m (0, ф) —
— sin (0/2) exp (— 1Ф/2) f_m (0, ф).
Аналогично
(l{i\ /Х»>) = sin (0/2) exP ({Ф/2) f+m (0, Ф) +
+ cos (0/2) exp 0ф/2) f_m (0, ф).
С учетом закона сохранения четности (4.99) амплитуду перехода в нерелятивистском спиновом представлении можно записать в виде матрицы
О ехр (— 1ф)" ехр Оф) О
F,
т'т
g (0) &т'т + h (0)
Здесь зависимость от ф выделена в виде множителей и определены новые амплитуды:
S (0) = /++ (0) cos (0/2) — /-+ (0) sin (0/2); h (0) = - f++ (0) sin (0/2) - f_+ (0) cos (0/2).
(4.101)
Введем единичный вектор n, нормальный к плоскости рассеяния и имеющий следующее направление:
р (начального нуклона)Хр (конечного нуклона).
В этом случае
п = (— sin ф, cos ф, 0)
ian
0 ехр (— 5ф)'
-ехр(1ф) 0 так что матрицу F можно представить в виде
F (0, ф) = g (в) 1 + ih (в) ап. (4.102)
Здесь F — матрица в спиновом пространстве, в котором все спины относятся к общей оси z.
Диагональные и недиагональные элементы g(Q) и /г (0) называют амплитудами без опрокидывания.и с опрокидыванием спина соответственно. Относительно простую форму (4.102) матрицы F можно объяснить на основе инвариантности относительно
93
шращений и отражений в пространстве и времени (см. гл. 5 и 6).
Анализ по парциальным волнам заключается в разложении ¦функции f hv (W, б, ф) по амплитудам таким способом,
который совместим с инвариантностью относительно вращений и лоренц-инвариантностью. Однако существует еще одно общее ограничение, которое мы пока не рассматривали, — унитарность оператора рассеяния 5, выражающая закон сохранения вероятности.
Напомним, что в базисе состояний фп, когда элементы S-матрицы выражаются формулой Smn = (фт, 5ф„), условие унитарности имеет вид (2.15)
SmnSmn' = 6/j
Применим это условие к juV-системе. При энергиях ниже порога образования дополнительного пиона упругое рассеяние пред-•ставляет собой единственный допустимый процесс сильного взаимодействия. Пренебрежем рассеянием с излучением одного или более низкоэнергетических фотонов. Тогда единственные отличные •от нуля матричные элементы S-матрицы — это элементы между различными состояниями одного л и одного N. Если выбрать в качестве базисных собственные состояния 4rwjM момента количества движения в с. ц. м., то оператор рассеяния 5 будет диагональным:
