Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Запишем уравнение, комплексно сопряженное к (4.45):
?* = (2л)-*/. j d3p 1(2?„)-*/.] а* (р) Ф; (4.46)
и нормировочный интеграл
(W, W) = (2л)^з j dsp [(2Ер)-Ч*) а* (р) j d3p' [(2?р.)-‘/.] а (р') (Фр, Фр.).
Подставляя (4.43) в правую часть уравнения, получаем
(1F) Ч1) = J d3p | а (р) |2. (4.47)
Если интеграл в правой части уравнения нормирован на единицу, то Iа(р)\2d3p можно интерпретировать' как вероятность того, что в состоянии V находится частица с импульсом в интервале <р, р + d3p).
§ 4.4. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ
Все сказанное в предыдущем параграфе оказывается справедливым и для частиц со спином. Однако вектор состояния для частиц со спином должен иметь дополнительную характеристику а, описывающую ориентацию спина.
В тех случаях, когда спин имеет определенное значение, опустим характеризующий его индекс и запишем базисные состояния в виде ф рх или фрвфХ .
Рассмотрим состояние покоя р = 0 (речь идет о частицах с отличной от нуля массой). Для базисных состояний покоя фооо*. в качестве Я возьмем компоненту спина вдоль направления z в рабочей системе отсчета Б. Введем оператор J полного момента количества движения. В состоянии покоя нет вклада от орбитального движения, zak что фоо(А удовлетворяет уравнениям
.)2ф0(№ = s (S + 1) фооо»/,
ЛфОООХ = ^-фооох-
(4.48)
77
Операторы сдвига /± связывают состояния с разными значениями К:
J±4>ooak = [(s + Я) (s + X -J- l)]1/* cpooox±i . (4.49)
Здесь принято стандартное фазовое условие, описанное в гл. 3. 2s +1 -состояний фооох образуют полный набор состояний покоя.
Следуя процедуре, использованной в § 4.3 для бесспиновых частиц, определим состояния фрвФЯ. с произвольным импульсом. Так, применяя чистое преобразование Лоренца %v, получим состояние фроох, в котором импульс направлен вдоль оси z.
Таким образом,
фроох = U (?бр) фооох- (4.50)
Это выражение определяет состояние фроох, а Я все еще означает собственное значение .г-компоненты спина. Чтобы доказать это, заметим, что поворот Za вокруг оси z коммутирует с преобразованием Лоренца %v вдоль оси z:
адр = ВДх, (4.51)
так как оператор Za действует только на координаты х и у, а %-р — на координаты z и t. Обычным способом получим
U(Za)U &p) = U(%p)U(Za).
Теперь U (Za) = ехр (— iaJ3). Следовательно,
= (4.52)
С помощью уравнения (4.48) получим
Лфроох = JJJ (25р) фооох = U (%р) «/зФоооя, = "Ш (35р) Фооох-
Таким образом,
Лфроох = "Щ'роо/.- (4.53)
Заметим, что состояние с импульсом р, направленным вдоль оси z, не имеет компоненты орбитального момента количества движения вдоль оси z, так что /з имеет то же собственное значение, что и спиновая компонента.
Спиральность частицы определяется как проекция полного момента количества движения частицы на направление движения, т. е. она является собственным значением оператора
J-P/IPI, (4.54)
/N
который для собственных состояний оператора Р имеет вид 1р,
где р — единичный вектор в направлении импульса. Таким образом, по приведенному выше определению, собственное состояние Фрооа. имеет спиральность Отметим, что оператор спиральности является инвариантом относительно вращений, будучи скалярным произведением двух векторных операторов.
78
Чтобы определить 2s +1-спиновых состояния частицы с импульсом в произвольном направлении (0, ф), просто применим к состояниям фроох поворот U(R(ф, 0, 0)). В результате получим
Фр0фх — U (R (ф, 0, 0)) U (??р) фооох- (4.55)
Так как оператор спиральности есть скаляр, то определенное таким образом состояние фРвфЯ. имеет такое же собственное значение спиральности, что и неповернутое состояние фРоох, т. е. X. Значит, характеристику X для вектора состояния фРвфЯ. можно отождествить с компонентой спина в направлении движения.
Итак, мы определили полный набор состояний фре<ря, для одной частицы с массой тф0 и спином s. Для каждого импульса характеристика X является компонентой спина по направлению движения, которая принимает значения от —s до s. Для частицы в состоянии покоя X есть проекция спина в направлении оси z. Нормировка базисных состояний имеет вид
(фр-v, фРх) = (2л)3 2?pS(3) (р' — р) (4.56)
и общее состояние частицы есть
Ч*- = (2л)—J сРр [(2-Ер)-1/2] V аф) Фр„. (4.57)
Здесь ах (р) — амплитуда вероятности нахождения частицы с импульсом р и спиральностью X в состоянии V.
В результате отождествление квантового числа X со спиральностью для базисного состояния фРя, вытекает из последовательного применения преобразования Э5Р и поворота ^(ф, 0, 0), с помощью которых из состояния покоя генерируется общее состояние. Например, для образования состояния <рРх можно применить к состоянию фооо?. чистое преобразование Лоренца в направлении Р. В этом случае X уже нельзя интерпретировать просто как спиральность, несмотря на то, что в результате получается полный набор 2s +1-состояний частицы с импульсом Р. Использованный выше метод принадлежит Жакобу и Вику [108], а общее описание состояний частицы известно как формализм спиральности.
