Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
CPwj’M’ii, SWwjmx) = (4.103)
В этом случае условие унитарности (2.15) дает соотношения
l5++ I2 +1 s+-\ =U I (4Л04)
S++S+- + S+-S++ = 0
ш которых использованы равенства
= SL+^S^, (4.105)
вытекающие из закона сохранения четности.
Уравнения (4.104) можно упростить еще больше, выражая 5 .в базисе собственных состояний четности.
Запишем закон преобразования для спирального собственного состояния яЛЛмомента количества движения при действии оператора четности Р (см. гл. 5):
и (Р) Ъмь = - (-l/“1/24V-^.
Отсюда для JM можно построить собственные состояния оператора четности. Состояния
= 2'1/2 + Тш-} (4-106)
имеют четность (—l)7*1^. Вычисляя матричные элементы 5 в базисе Ч'ум находим, что матрица S полностью диагональна.
94
Запишем два диагональных элемента для заданного J:
(4.107>
показывающее, что матрица 5 не имеет матричных элементов; между состояниями с одним и тем же /, но с противоположной четностью.
Теперь, когда 5-матрица диагональна, условие унитарности, принимает простой вид:
Следовательно, можно параметризовать 5-матрицу, полагая
где фазовые сдвиги 6j±(^) —вещественные функции полной энергии в с. ц. м.
Выше порога образования дополнительного пиона в матрице рассеяния появляются недиагональные элементы. Для этого случая из условия (2.15) получаем более слабое условие, накладываемое на диагональные элементы 5-матрицы:
где факторы неупругости r)y±(W)—вещественные функции энергии в с. ц. м.
Сделаем комментарии относительно орбитального момента количества движения. В анализе по парциальным волнам в формулировке спиральности орбитальный момент количества движения не участвует как таковой, однако спиральные амплитуды можно связать с амплитудами между состояниями с определенным орбитальным моментом количества движения. Для общего знакомства с этим вопросом читатель может обратиться к статье-Жакоба и Вика [108]. Мы же установим эту связь для лА^-системы..
Состояние л^-системы с орбитальным моментом количества движения L является собственным состоянием четности с собственным значением четности —(—l)i. Дополнительный знак воз-
SJ+ |2 ^ | SJ~ |2 = J
SJ± = ехр (2i6y±),
(4.108)
(4.109)
и параметризация (4.108) заменяется на
SJ± = ту± ехр (2i6J±),
(4.110)
95
никает здесь из-за отрицательной относительной внутренней четности л и N. Теперь состояние с определенным L дает вклад
в состояния с полным моментом количества движения 7 = L± 1/2.
И наоборот, в состояние nN с определенным J дают вклад следующие значения L:
J + : L = / + 1/2 с четностью — (—1)У+'/г = (— l/_1/:i;
/ — : Z, = /—1/2 с четностью —(—= (—1)У+1/2.
Две эти возможности соответствуют в формуле (4.106) собственным состояниям момента количества движения и четности Yyt/ и Wjm соответственно. Нетрудно видеть, что верхний индекс (±) означает, что орбитальный момент количества движения L = /± 1/2. Иногда эти состояния записывают в виде xYJ±tM-Именно эти обозначения и используются для диагональных матричных элементов S'7*, а также для фазовых сдвигов и факторов неупругости.
Теперь определим соотношение между элементами матрицы перехода и фазовыми^ сдвигами. Операторы 5 и if связаны формулой 5 = l + i.F. Таким образом, для упругого рассеяния соотношение между матричными элементами в базисе спиральности имеет вид
— Sju -)- iif
С помощью (4.107) и (4.108) получаем if и (W) = Г1 (4+ - 1) = Г1 {-1 (ехр (2i6j_) + ехр (2i6,+)) - l) , так что
7.;.(Щ (4.111)
где введены новые значения амплитуды рассеяния парциальных волн:
aj± — (ехр (2i6J±) — l)/2i. (4.112)
Аналогично находим, что
= = (4.113)
Используя выражения (4.98), (4.111) и (4.113), можно записать амплитуду рассеяния / (W, 0, ф) через а^. Ограни-
чимся случаем ф = 0 и используем следующие явные формулы для функции dju(0):
4+ (0) = 2 (2/ + I)”1 cos (0/2) (Pj+42-Pj^/2) ;
(0) = 2 (2J + l)-1 sin (0/2) (Pj+l/, + p;_Vl) ,
где
P’i = d {PL (cos Q)}/d (cos 0)
96
означает производную полинома Лежандра [108]. Отсюда получаем /++ (0) = р-1 2 cos (0/2) (P'j+i/, - P'j^O (а,_ + a ) ; j
f+- (0) = P_1 2 sin (0/2) (Pj+4t + P'j-4) (aj_ — aj+).
§ 4.9. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ РАСПАДЫ
4.9.1. Общий формализм. Формализм спиральности очень удобен для анализа распадов частиц со спином А ->¦ а b с - . . Сосредоточимся на случае двухчастичного распада А ->а +Ь, где масса и спин обозначены соответственно mAJ\ та, sa и ть, sb.
